संख्याओं का खेल — निपुणता

Q1. सात बच्चे पंक्ति में खड़े हैं और 'सम्मुख लंबे बच्चों' के नियम से 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5 बोलते हैं। पंक्ति का अंतिम बच्चा

• A. सातों बच्चों में सबसे लंबा है।
• B. निश्चित रूप से दूसरे क्रम का सबसे लंबा है।
• C. सातों बच्चों में सबसे छोटा है।
• D. ठीक सबसे लंबे बच्चे के पीछे खड़ा है।

Q2. पंक्ति में सबसे लंबी बच्ची चाहे कहीं भी खड़ी हो, उसे सदैव '0' ही क्यों बोलना पड़ता है?

• A. उसके सामने खड़ा कोई भी बच्चा उससे लंबा नहीं हो सकता, अतः उससे लंबे बच्चों की गिनती 0 है।
• B. वह पंक्ति में पहली होती है, अतः गिनती स्वतः 0 होती है।
• C. उसे पीछे खड़ा होना पड़ता है, अतः उसके सामने कोई नहीं होता।
• D. पीछे खड़े बच्चों को नियम 0 बोलने को बाध्य करता है।

Q3. एक शिक्षिका बोर्ड पर (सम – सम) लिखकर इसकी समानता पूछती है। उदाहरण सहित सही उत्तर है

• A. विषम; जैसे 8 – 4 = 4।
• B. कभी विषम, कभी सम; संख्याओं पर निर्भर।
• C. विषम; जैसे 10 – 6 = 4।
• D. सम; जैसे 8 – 4 = 4।

Q4. तीन कथनों पर विचार कीजिए: I. (विषम – सम) सदैव विषम है। II. (सम – विषम) सदैव विषम है। III. (विषम – सम) तथा (सम – विषम) की समानताएँ विपरीत हैं। कौन-से सही हैं?

• A. केवल I तथा III
• B. तीनों
• C. केवल II तथा III
• D. केवल I तथा II

Q5. लक्पा के पास विषम संख्या में ₹1 के सिक्के, विषम संख्या में ₹5 के सिक्के तथा सम संख्या में ₹10 के सिक्के हैं। वह कहता है कि उसकी गुल्लक में कुल ₹205 हैं। क्या उसने गलती की है?

• A. हाँ — कुल योग सम होना चाहिए, अतः ₹205 असंभव है।
• B. नहीं — ₹5 तथा ₹1 दोनों विषम हैं, अतः ₹205 सही है।
• C. हाँ — कुल योग 10 का गुणज होना चाहिए।
• D. नहीं — विषम + विषम + सम कोई भी संख्या हो सकती है।

Q6. बिना गुणा किए, 27 × 13 की समानता क्या है?

• A. सम, क्योंकि गुणनफल में बहुत अंक होते हैं।
• B. गुणा किए बिना तय नहीं की जा सकती।
• C. विषम, क्योंकि विषम × विषम = विषम।
• D. सम, क्योंकि 27 + 13 = 40 सम है।

Q7. अध्याय का कौन-सा एक नियम 135 × 654 की समानता सबसे शीघ्र समझाता है?

• A. विषम × विषम = विषम, दोनों गुणकों पर लागू।
• B. किन्हीं दो संख्याओं का गुणनफल सदैव सम होता है।
• C. पहले प्रत्येक संख्या के अंकों का योग समानता तय करता है।
• D. कोई एक गुणक सम होने पर गुणनफल सम होता है।

Q8. पूर्ण संख्या w के लिए व्यंजक 48w – 2 के बारे में तीन कथन: I. 48w सदैव सम है। II. 48w – 2 सदैव सम है। III. w का उचित मान चुनकर 48w – 2 को विषम बनाया जा सकता है। कौन-से सही हैं?

• A. केवल I तथा III
• B. केवल II तथा III
• C. केवल I
• D. केवल I तथा II

Q9. 1 से 9 तक की संख्याओं (प्रत्येक एक बार) में से तीन संख्याओं को ग्रिड के तीन वृत्तों में रखने पर, संभव सबसे छोटा योग 6 है तथा सबसे बड़ा योग होगा

• A. 18
• B. 21
• C. 24
• D. 27

Q10. यदि एक ही जादुई वर्ग के घूर्णन (rotation) तथा प्रतिबिंब (reflection) को एक ही गिना जाए, तो 1 से 9 की संख्याओं से बनने वाले अनिवार्य रूप से भिन्न 3 × 3 जादुई वर्गों की संख्या कितनी है?

• A. ठीक एक।
• B. ठीक तीन।
• C. ठीक आठ।
• D. अनंत।

Q11. 8वीं शताब्दी सामान्य संवत् के एक मंदिर के स्तंभ पर उत्कीर्ण 3 × 3 जादुई वर्ग कहाँ मिलता है?

• A. खजुराहो, मध्य प्रदेश।
• B. कोणार्क, ओडिशा।
• C. हम्पी, कर्नाटक।
• D. पलनी, तमिलनाडु।

Q12. विरहांक ने इस अनुक्रम का वर्णन लगभग 700 सामान्य संवत् में किया। फिबोनाची ने यूरोप में 1202 सामान्य संवत् में इन्हीं संख्याओं पर लिखा। विरहांक तथा फिबोनाची के बीच का अंतराल लगभग है

• A. लगभग 200 वर्ष।
• B. लगभग 800 वर्ष।
• C. लगभग 500 वर्ष।
• D. लगभग 1500 वर्ष।

Q13. अध्याय बताता है कि गुलबहार (daisy) की पंखुड़ियों की संख्या प्रायः विरहांक संख्या होती है। इनमें से कौन-सी पंखुड़ी-संख्या 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... के अनुक्रम की विरहांक संख्या नहीं है?

• A. 13
• B. 21
• C. 25
• D. 34

Q14. एक बल्ब चालू (ON) है। दोरजी उसके स्विच को 77 बार दबाता है। उसकी अंतिम अवस्था तय करने के लिए समानता-आधारित सर्वश्रेष्ठ तर्क है

• A. हर बार दबाने पर स्थिति बदलती है, अतः विषम बार दबाने के बाद बल्ब OFF होगा; 77 विषम है, अतः बल्ब OFF।
• B. हर बार दबाने पर स्थिति बदलती है; 77 बड़ा है, अतः बल्ब ON है।
• C. हर बार दबाने पर स्थिति बदलती है, अतः सम बार दबाने के बाद बल्ब ON होगा; 77 विषम है, अतः बल्ब ON।
• D. स्विच के दबाव युग्मों में रद्द हो जाते हैं, अतः बल्ब सदैव ON रहता है।

Q15. एक शिक्षक छात्रों से पूछते हैं कि 1-से-9 जादुई वर्ग की तीन पंक्तियों के योग का कुल 45 क्यों होता है। सर्वश्रेष्ठ व्याख्या है

• A. क्योंकि तीनों पंक्तियाँ मिलकर 1 से 9 की हर संख्या को ठीक एक बार रखती हैं, अतः पंक्ति-योग का कुल 1 + 2 + … + 9 = 45।
• B. क्योंकि 45 इस वर्ग का जादुई योग है।
• C. क्योंकि हर पंक्ति में तीन संख्याएँ हैं, और 3 × 15 = 45।
• D. क्योंकि 1 से 9 की किन्हीं तीन संख्याओं का सबसे बड़ा संभव योग 45 है।

Q16. 'सम्मुख लंबे बच्चों' के नियम के अंतर्गत, पंक्ति में जो बच्चा न पहला है न अंतिम, वह '0' बोलता है। यह कथन

• A. कभी सत्य नहीं — केवल पहला व्यक्ति 0 बोल सकता है।
• B. केवल कभी-कभी सत्य — तब, जब आगे कोई उससे लंबा न हो।
• C. सदैव सत्य — हर मध्य का बच्चा 0 बोलता है।
• D. कभी सत्य नहीं — कम-से-कम एक लंबा बच्चा आगे होना ही चाहिए।

Q17. समानता-शृंखला में कोई भी दो क्रमागत पूर्ण संख्याएँ सदैव होती हैं

• A. दोनों सम।
• B. दोनों विषम।
• C. एक सम तथा एक विषम।
• D. दोनों अभाज्य।

Q18. पाँच संख्याओं को जोड़ा जाता है: उनमें से दो सम हैं तथा तीन विषम हैं। योग होगा

• A. सम, क्योंकि सम संख्याएँ समानता-नियम पर हावी हैं।
• B. विषम, क्योंकि तीन विषमों में से एक शेष बच जाती है।
• C. कभी विषम, कभी सम — चुनी हुई संख्याओं पर निर्भर।
• D. सदैव शून्य।

Q19. लक्पा कहता है कि उसकी गुल्लक में कुल ₹205 हैं — विषम संख्या में ₹1 के सिक्के, विषम संख्या में ₹5 के सिक्के तथा सम संख्या में ₹10 के सिक्के। उसकी गलती को सबसे अच्छा कौन-सा तर्क दिखाता है?

• A. ₹205, 5 का गुणज नहीं है, अतः ₹5 के सिक्के नहीं बना सकते।
• B. ₹10 × सम = सम रुपये; ₹1 × विषम + ₹5 × विषम = विषम + विषम = सम; कुल = सम + सम = सम, 205 नहीं।
• C. विषम संख्या में ₹1 के सिक्के केवल ₹1 ही दे सकते हैं, अतः ₹205 असंभव।
• D. ₹1, ₹5, ₹10 मूल्य के धनात्मक सिक्कों से ₹205 बन ही नहीं सकते।

Q20. बिना गुणा किए, 3 × 4 ग्रिड में छोटे वर्गों की संख्या की समानता है

• A. विषम, क्योंकि 3 विषम है।
• B. सम, क्योंकि कम-से-कम एक भुजा (4) सम है।
• C. 3 तथा 4 का गुणा किए बिना तय नहीं की जा सकती।
• D. विषम, क्योंकि 3 + 4 = 7 विषम है।

Q21. व्यंजक 2f + 3, जहाँ f पूर्ण संख्या है, देता है

• A. सदैव सम संख्याएँ।
• B. सदैव विषम संख्याएँ।
• C. f के अनुसार सम तथा विषम दोनों।
• D. केवल 3 के गुणज।

Q22. भारत में 1 से 9 की संख्याओं से बना 3 × 3 जादुई वर्ग पारंपरिक रूप से कहलाता है

• A. चौतीसा यंत्र।
• B. नवग्रह यंत्र।
• C. कुबेर यंत्र।
• D. लो शू यंत्र।

Q23. m-रूप जादुई वर्ग (केंद्र m) का उपयोग करते हुए, यदि केंद्र संख्या 25 है, तो जादुई योग होगा

• A. 25
• B. 50
• C. 75
• D. 125

Q24. खजुराहो के पार्श्वनाथ जैन मंदिर का चौतीसा यंत्र ऐतिहासिक दृष्टि से महत्वपूर्ण है क्योंकि यह है

• A. सर्वप्रथम अभिलेखित 3 × 3 जादुई वर्ग।
• B. सर्वप्रथम अभिलेखित 4 × 4 जादुई वर्ग।
• C. भारत का सबसे बड़ा ज्ञात जादुई वर्ग।
• D. ऋणात्मक संख्याओं वाला एकमात्र जादुई वर्ग।

Q25. इस संख्या-अनुक्रम पर विरहांक का कार्य किसके पूर्व कार्य से प्रेरित था?

• A. पिंगल, लगभग 300 ईसा पूर्व।
• B. गोपाल, लगभग 1135 सामान्य संवत्।
• C. हेमचंद्र, लगभग 1150 सामान्य संवत्।
• D. फिबोनाची, 1202 सामान्य संवत्।

Q26. लघु (1-मात्रा) तथा दीर्घ (2-मात्रा) अक्षरों से कुल 6 मात्राओं की भिन्न लयों की संख्या है

• A. 8
• B. 10
• C. 13
• D. 21

Q27. क्रिप्टारिथम UT + TA = TAT में (हर अक्षर एक अंक 0–9) मान हैं

• A. U = 1, T = 9, A = 0
• B. U = 9, T = 1, A = 0
• C. U = 0, T = 9, A = 1
• D. U = 9, T = 0, A = 1

Q28. लिस्विनी के विश्वकोश से 50 खुले पन्ने (प्रत्येक के दोनों ओर मुद्रित) गिर पड़ते हैं। क्या इन पन्नों के पृष्ठ-संख्याओं का योग 6000 हो सकता है?

• A. नहीं — 50 पन्नों का योग विषम होगा, अतः 6000 (सम) असंभव है।
• B. हाँ — प्रत्येक पन्ने पर एक सम तथा एक विषम पृष्ठ-संख्या होती है; ऐसे 50 युग्मों का योग सम होगा, और 6000 भी सम है।
• C. नहीं — खुले पन्नों की पृष्ठ-संख्याएँ 6000 जैसे गोल आँकड़े पर नहीं आ सकतीं।
• D. हाँ — परंतु तभी जब ठीक 25 पन्नों के सामने सम पृष्ठ-संख्या हो।

Q29. एक समाचार-कतरन कहती है — 'पिछले वर्ष 14,70,369 लोगों ने विवाह किया।' एक मित्र टिप्पणी करता है, 'क्या यह सम संख्या नहीं होनी चाहिए?' मित्र का तर्क

• A. सही है — हर विवाह में 2 व्यक्ति होते हैं, अतः कुल गिनती सम होनी ही चाहिए; 14,70,369 विषम है।
• B. सही है — भारतीय पद्धति में केवल सम संख्याएँ ही अल्पविराम के साथ लिखी जाती हैं।
• C. ग़लत है — कुल कोई भी संख्या हो सकती है; सम होना आवश्यक नहीं।
• D. ग़लत है — बड़ी संख्याएँ सदैव सन्निकट दी जाती हैं, अतः समानता असंगत है।

Q30. कक्षा 7 का शिक्षक बीजगणित का उपयोग किए बिना विद्यार्थियों को दिखाना चाहता है कि (विषम + विषम) सम क्यों होता है। सर्वोत्तम कक्षा-रणनीति है

• A. केवल नियम 'विषम + विषम = सम' बताकर रटा देना।
• B. 3 + 5 = 8 दिखाकर विद्यार्थियों को इसी एक उदाहरण से नियम मान लेने देना।
• C. प्रत्येक विषम संख्या को युग्मों तथा एक शेष बिंदु के रूप में चित्रित करना, फिर दोनों शेष बिंदुओं को मिलाकर एक नया युग्म बनाना — इससे कुल को युग्मों में व्यवस्थित करना दिखाना।
• D. विद्यार्थियों से कई विषम युग्मों का योग कैलकुलेटर पर निकलवाकर प्रेक्षण करवाना।