तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा — निपुणता

Q1. ΔABC में संकेत ∠A निम्न में से किसका संक्षिप्त रूप है?

• A. शीर्ष A के सम्मुख भुजा BC
• B. शीर्ष A पर बना बाह्य कोण
• C. A से BC पर खींचा गया शीर्षलंब
• D. शीर्ष A पर बना कोण ∠CAB (अथवा ∠BAC)

Q2. एक शिक्षक श्यामपट्ट पर "ΔPQR" लिखते हैं। तीन अक्षरों के सामने आया प्रतीक Δ किसके लिए है?

• A. यह आकृति PQR में समकोण को दर्शाता है
• B. यह त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल को दर्शाता है
• C. यह छात्रों को बताता है कि P, Q, R संरेखीय बिंदु हैं
• D. यह "त्रिभुज" शब्द का संक्षिप्त रूप है, जिसे "त्रिभुज PQR" पढ़ा जाता है

Q3. दी गई भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की रचना के लिए केवल मापक (ruler) के स्थान पर परकार को क्यों वरीयता दी जाती है?

• A. मापक से लंबाई तो अंकित होती है, पर तीसरे शीर्ष को दोनों सिरों से मिलाने के लिए प्रयास और त्रुटि चाहिए; परकार एक ही चरण में समान भुजाओं की गारंटी देता है
• B. मापक से अभीष्ट लंबाई का सीधा आधार नहीं खींचा जा सकता
• C. किसी भी लंबाई को अंकित करने में परकार मापक से तेज़ है
• D. मापक सदैव वक्र रेखाएँ खींचता है, जबकि परकार सीधी

Q4. 5 से.मी., 6 से.मी. तथा 7 से.मी. भुजाओं वाले त्रिभुज की परकार से रचना करते समय, सुझाया गया पहला चरण क्या है?

• A. तीन दी गई भुजाओं में से कोई एक आधार के रूप में खींचें — जैसे 7 से.मी. भुजा को आधार AB बनाएँ
• B. 5 से.मी. त्रिज्या का वृत्त बनाकर उस पर तीन बिंदु अंकित करें
• C. तीन मनमाने बिंदु अंकित करके उन्हें युग्मों में मिलाएँ
• D. 7 से.मी. के एक रेखाखंड को समद्विभाजित करके दोनों आधे टुकड़ों को शेष भुजाएँ बनाएँ

Q5. 4 से.मी., 5 से.मी. तथा 8 से.मी. से त्रिभुज बन सकता है या नहीं — यह दो-वृत्त विधि से जाँचने के लिए आधार तथा त्रिज्याओं का सर्वाधिक सुविधाजनक चयन क्या है?

• A. AB = 4 से.मी., A तथा B पर 5 तथा 8 से.मी. त्रिज्या के वृत्त
• B. AB = 5 से.मी., A तथा B पर 4 तथा 8 से.मी. त्रिज्या के वृत्त
• C. AB = 8 से.मी., A तथा B पर 4 तथा 5 से.मी. त्रिज्या के वृत्त
• D. कोई भी आधार चलेगा, क्योंकि उत्तर चयन पर निर्भर नहीं करता

Q6. कागज़ पर एक स्थिर बिंदु O से, परकार को एक ही खुलाव पर रखकर दो बिंदु P तथा Q अंकित किए जाते हैं। इस प्रकार बना त्रिभुज OPQ सदैव कैसा होगा?

• A. समबाहु, क्योंकि तीनों भुजाएँ बराबर होंगी
• B. समकोण, क्योंकि परकार O पर कोण को 90° पर स्थिर रखता है
• C. विषमबाहु, क्योंकि PQ प्रायः OP तथा OQ से भिन्न होती है
• D. समद्विबाहु, क्योंकि OP = OQ (दोनों परकार की समान त्रिज्या हैं)

Q7. PQ = 6 से.मी., ∠P = 60° तथा PR = 4 से.मी. वाले ΔPQR की रचना करनी है। सबसे पहला चरण क्या होगा?

• A. किसी भी बिंदु पर 60° का कोण बनाकर उसके शीर्ष पर P रखें
• B. एक बिंदु R अंकित करके उससे 4 से.मी. का चाप बनाएँ
• C. दी गई आधार भुजा PQ = 6 से.मी. खींचें तथा उसके सिरे अंकित करें
• D. 6 से.मी. दूर दो समांतर रेखाएँ खींचें

Q8. जब त्रिभुज की रचना दो कोणों तथा अंतर्गत भुजा (included side) से करनी हो, तब "अंतर्गत भुजा" वह भुजा है जो

• A. दोनों दिए गए कोणों के बीच स्थित हो, और जिसके प्रत्येक सिरे पर एक-एक दिया गया कोण हो
• B. दो दिए गए कोणों में से बड़े कोण के सम्मुख स्थित हो
• C. त्रिभुज के परिमाप का आधा हो
• D. बड़े कोण की दोनों भुजाओं पर लंब हो

Q9. एक शिक्षक कागज़ का त्रिभुज काटकर उसके तीनों कोनों को इस प्रकार मोड़ती हैं कि तीनों शीर्ष सम्मुख भुजा पर एक ही बिंदु पर मिल जाएँ। तीनों कोण मिलकर एक सरल रेखा बनाते हैं। यह गतिविधि किसकी सत्यापन के लिए है?

• A. त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है
• B. सभी त्रिभुज समद्विबाहु होते हैं
• C. त्रिभुज का बाह्य कोण उसकी भुजाओं के योग के बराबर होता है
• D. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है

Q10. "त्रिभुज का बाह्य कोण = दोनों दूरस्थ अंतःकोणों का योग" — यह संबंध मूलतः कोण योग गुण का परिणाम क्यों है?

• A. क्योंकि बाह्य कोण = 180° − संलग्न अंतःकोण होता है, और कोण योग से दूरस्थ दोनों कोणों का योग भी 180° − उसी संलग्न अंतःकोण के बराबर निकलता है
• B. क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज समद्विबाहु होता है
• C. क्योंकि बाह्य कोण सदैव 90° का होता है
• D. क्योंकि त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब एक बिंदु पर मिलते हैं

Q11. ΔABC में शीर्ष A से खींचा गया शीर्षलंब भुजा BC को बिंदु D पर मिलता है। AD के बारे में निम्न में से क्या सत्य होना चाहिए?

• A. AD भुजा BC को दो बराबर भागों में समद्विभाजित करता है
• B. AD ∠A को दो बराबर भागों में बाँटता है
• C. AD, BC पर लंब है, अतः ∠ADB = ∠ADC = 90°
• D. AD, BC के समांतर है

Q12. क्या कोई एक ही त्रिभुज एक साथ समकोण और अधिककोण दोनों हो सकता है? सर्वोत्तम कारण चुनिए।

• A. हाँ, क्योंकि प्रत्येक समकोण त्रिभुज में कम-से-कम एक अधिककोण होता है
• B. नहीं, क्योंकि एक समकोण (90°) तथा एक अधिककोण (>90°) का योग ही 180° से अधिक हो जाता है, तीसरे के लिए कुछ धनात्मक नहीं बचता
• C. हाँ, यदि त्रिभुज समबाहु भी हो
• D. नहीं, क्योंकि समकोण तथा अधिककोण त्रिभुजों की भुजाएँ बराबर होनी चाहिए

Q13. कक्षा 7 का एक विद्यार्थी कहता है, "कोई भी तीन धनात्मक लंबाइयाँ त्रिभुज बना सकती हैं।" शिक्षक इस दावे को चुनौती देने के लिए सबसे प्रभावी एक प्रति-उदाहरण कौन-सा दे सकती हैं?

• A. तीन बराबर लंबाइयाँ 5, 5, 5 दिखाकर समबाहु त्रिभुज बनाएँ
• B. 3, 4, 5 दिखाकर समकोण त्रिभुज बनाएँ
• C. 2, 3, 6 दिखाएँ — चूँकि 2 + 3 = 5 < 6, इनसे कोई त्रिभुज नहीं बन सकता
• D. 6, 8, 10 दिखाकर त्रिभुज बनाएँ

Q14. कक्षा 7 की एक शिक्षिका त्रिभुज के कोण योग गुण का परिचय देना चाहती हैं। निम्न में से कौन-सा उपाय अध्याय की भावना के सबसे अधिक अनुरूप है?

• A. सीधे नियम "तीनों कोणों का योग 180°" बताकर छात्रों को कंठस्थ कराएँ
• B. छात्रों से कागज़ के त्रिभुज कटवाकर तीनों कोने फाड़कर एक सरल रेखा पर सजवाएँ, फिर नियम कहें
• C. लुप्त कोण ज्ञात करने के 20 सांख्यिक प्रश्न देकर उत्तर जाँचें
• D. बीजगणितीय समीकरण A + B + C = 180° को बिना किसी चित्र के दिखाएँ

Q15. ΔABC के शीर्ष A से भुजा BC पर शीर्षलंब खींचने के लिए, पाद पर सच्चा लंब सुनिश्चित करने हेतु सबसे व्यावहारिक उपकरण क्या है?

• A. एक समकोणी सेट-स्क्वायर (set square) जिसकी एक भुजा BC के अनुदिश हो तथा समकोणी भुजा A से होकर निकले
• B. केवल आँख से BC के समांतर पकड़ा गया एक साधारण मापक
• C. AB पर आधार रखकर लगाया गया एक चाँदा (protractor)
• D. 5 से.मी. खुले परकार

Q16. 5 से.मी. भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC की रचना करते समय A तथा B से 5 से.मी. त्रिज्या के दो चाप खींचे जाते हैं। तीसरा शीर्ष C किस प्रकार तय होता है?

• A. AB का मध्य बिंदु
• B. A से खींचे चाप पर कोई भी बिंदु
• C. वह बिंदु जहाँ दोनों चाप प्रतिच्छेद करते हैं (दोनों में से कोई एक)
• D. वह बिंदु जहाँ दोनों चाप AB को काटते हैं

Q17. सभी त्रिभुजों में समबाहु त्रिभुज को "सबसे सममित" (most symmetric) कहा जाता है। निम्न में से कौन-सा कथन इस विचार को सबसे सही ढंग से बताता है?

• A. दी गई परिमाप के लिए इसका क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है
• B. तीनों भुजाएँ बराबर तथा तीनों कोण बराबर (प्रत्येक 60°) होते हैं
• C. इसका केवल एक कोण 60° होता है
• D. इसकी तीनों भुजाएँ सदैव पूर्ण संख्याएँ होती हैं

Q18. AB = 7 से.मी., BC = 5 से.मी. तथा CA = 6 से.मी. वाले ΔABC की रचना करनी है। आधार AB खींचा जा चुका है। अगला चरण है — चाप खींचना

• A. A से 6 से.मी. त्रिज्या (अर्थात् CA) का चाप
• B. A से 5 से.मी. त्रिज्या (अर्थात् BC) का चाप
• C. AB के मध्य बिंदु से 5 से.मी. त्रिज्या का चाप
• D. AB पर किसी भी बिंदु से 7 से.मी. त्रिज्या का चाप

Q19. AB = 7 से.मी., BC = 5 से.मी., CA = 6 से.मी. वाले ΔABC की रचना में A से 6 से.मी. त्रिज्या का चाप खींच लिया गया है। तीसरा चरण है — चाप खींचना

• A. B से 7 से.मी. त्रिज्या
• B. B से 5 से.मी. त्रिज्या
• C. B से 6 से.मी. त्रिज्या
• D. पहले चाप के पाद से 5 से.मी. त्रिज्या

Q20. तीन भुजाओं से ΔABC की रचना में A तथा B से खींचे चाप C पर मिलने के बाद अंतिम चरण क्या है?

• A. दोनों चाप तथा आधार AB मिटा दें
• B. A, B, C से होकर एक वृत्त खींचें
• C. मापक से AC तथा BC मिलाकर त्रिभुज पूरा करें
• D. चाँदे से ∠C नापकर उसका मान लिखें

Q21. AB = 6 से.मी.। A पर 4 से.मी. त्रिज्या तथा B पर 5 से.मी. त्रिज्या के वृत्त खींचे जाते हैं। दोनों वृत्तों के कितने प्रतिच्छेद बिंदु हैं, और त्रिभुज पर इसका क्या अर्थ है?

• A. 0 बिंदु; कोई त्रिभुज नहीं बन सकता
• B. ठीक 1 बिंदु; केवल एक त्रिभुज संभव
• C. ठीक 2 बिंदु; भुजाओं 6, 4, 5 से.मी. वाला त्रिभुज बनता है (C की दो दर्पण स्थितियाँ)
• D. अनंत बिंदु; वृत्त हर जगह अतिव्यापन करते हैं

Q22. निम्न में से किस भुजा-सूची वाला त्रिभुज समबाहु है?

• A. 3 से.मी., 4 से.मी., 5 से.मी.
• B. 6 से.मी., 6 से.मी., 9 से.मी.
• C. 7 से.मी., 7 से.मी., 7 से.मी.
• D. 5 से.मी., 8 से.मी., 10 से.मी.

Q23. AB = 5 से.मी., ∠A = 60° तथा AC = 4 से.मी. वाले ΔABC की रचना करनी है। आधार AB खींच लिया गया है। दूसरा चरण क्या है?

• A. शीर्ष A पर 60° का कोण बनाएँ, जिसकी एक भुजा AB हो
• B. शीर्ष B पर 60° का कोण बनाएँ, जिसकी एक भुजा BA हो
• C. AB के मध्य बिंदु से 4 से.मी. ऊपर एक बिंदु अंकित करें
• D. B पर केंद्र वाला 4 से.मी. का वृत्त खींचें

Q24. SAS विधि से ΔABC की रचना में AB, ∠A तथा AC अंकित कर लिए गए हैं और C ∠A की दूसरी भुजा पर तय हो गया है। अंतिम चरण क्या है?

• A. मापक से BC मिलाएँ
• B. AB मिटाकर पुनः खींचें
• C. ∠B नापकर समायोजन करें
• D. C से होकर AB के समांतर रेखा खींचें

Q25. AB = 6 से.मी., ∠A = 50° तथा ∠B = 60° (ASA) वाले ΔABC की रचना का पहला चरण क्या है?

• A. हवा में 50° का कोण बनाकर लंब गिराएँ
• B. मापक से दी गई अंतर्गत भुजा AB = 6 से.मी. खींचें
• C. पहले बिंदु C अंकित करके पीछे की ओर काम करें
• D. परकार 6 से.मी. खोलकर दो चाप खींचें

Q26. ASA रचना में दी गई भुजा AB तथा दिए गए कोण ∠A एवं ∠B हैं। दोनों कोणों को सही सिरों पर ही क्यों बनाना चाहिए (∠A को A पर, ∠B को B पर), आपस में बदलकर नहीं?

• A. इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता; दोनों स्थितियों में वही त्रिभुज बनता है
• B. बदलने पर दर्पण-प्रतिबिंब बनता है, जो प्रायः भिन्न त्रिभुज है — CA तथा CB जैसी भुजाएँ आपस में बदल जाती हैं
• C. बदलने पर त्रिभुज की जगह चतुर्भुज बन जाता है
• D. केवल बड़ा कोण ही A पर बनाया जा सकता है

Q27. ASA रचना में AB तथा दोनों सिरों पर ∠A एवं ∠B बनाने के बाद तीसरा शीर्ष C किस प्रकार प्राप्त होता है?

• A. दोनों कोणों की दूसरी भुजाओं का मध्य बिंदु
• B. वह बिंदु जहाँ ∠A तथा ∠B की दूसरी भुजाएँ (आवश्यकता पड़ने पर बढ़ाकर) AB के एक ही ओर मिलती हैं
• C. AB पर किसी बिंदु से डाला गया लंब-पाद
• D. AB का स्वयं अपने आप से प्रतिच्छेद बिंदु

Q28. ΔABC में भुजा BC को D तक बढ़ाया जाता है। ∠ACB तथा ∠ACD का योग सदैव 180° क्यों होता है?

• A. क्योंकि वे शीर्षाभिमुख कोण हैं
• B. क्योंकि त्रिभुज समद्विबाहु है
• C. क्योंकि BCD सरल रेखा है तथा दोनों कोण भुजा CA साझा करते हैं और रैखिक युग्म बनाते हैं
• D. क्योंकि त्रिभुज का कोण योग 180° होता है

Q29. किसी त्रिभुज के कोण 110°, 40° तथा 30° हैं। सही वर्गीकरण कौन-सा है?

• A. न्यूनकोण त्रिभुज, क्योंकि दो कोण 90° से छोटे हैं
• B. समकोण त्रिभुज, क्योंकि 40° + 30° + 20° = 90°
• C. अधिककोण त्रिभुज, क्योंकि ठीक एक कोण (110°) 90° से बड़ा है
• D. प्रतिवर्ती कोण (reflex) त्रिभुज, क्योंकि 110° 90° से अधिक है

Q30. कक्षा 7 के एक विद्यार्थी को त्रिभुज के दो कोण (मान लें 80° तथा 55°) ज्ञात हैं और तीसरा ज्ञात करना है। अध्याय के अनुरूप सबसे विश्वसनीय विधि कौन-सी है?

• A. एक मोटे-मोटे रेखाचित्र पर चाँदे से तीसरा कोण नाप लें
• B. कोण योग गुण (angle sum property) से 180° में से दोनों ज्ञात कोणों का योग घटा लें
• C. 90° से कम कोई मान अनुमान से लेकर बाद में जाँचें
• D. त्रिभुज को समद्विबाहु मानकर एक दिए गए कोण की नक़ल कर लें