संख्याओं का खेल — निपुणता

Q1. दिए समता-नियमों के अनुसार (विषम) ± (सम) का परिणाम सदैव होगा

• A. सम
• B. विषम
• C. शून्य
• D. संख्याओं पर निर्भर — कुछ भी हो सकता है

Q2. सामग्री के धन–ऋण टोकन माॅडल में एक धन टोकन और एक ऋण टोकन मिलकर शून्य देते हैं। एक शिक्षक इसका उपयोग करके दिखाते हैं कि 5 − 3 की समता वही है जो 5 + 3 की। इस गतिविधि का सबसे अच्छा कक्षा-निष्कर्ष है

• A. टोकन माॅडल केवल योग के लिए काम करता है, अंतर के लिए नहीं
• B. ऋण टोकन हमेशा उत्तर को विषम बनाते हैं
• C. टोकन से केवल विषम संख्याएँ ही दिखाई जा सकती हैं
• D. जोड़े बनकर टोकन कटते हैं (एक धन + एक ऋण); युग्मों में टोकन घटाने/जोड़ने से शेष की समता नहीं बदलती

Q3. दो सम संख्याएँ जो 4 से विभाजित करने पर 2 शेष देती हैं, जोड़ी जाती हैं। बीजगणित से (4p + 2) + (4q + 2) का योग है

• A. 4(p + q), जो ज़रूरी नहीं कि 4 का गुणज हो
• B. 4(p + q) + 2, जो शेष 2 देता है
• C. 8(p + q), जो 8 का गुणज है
• D. 4(p + q + 1), जो 4 का गुणज है

Q4. कथन P: 5k + 3 (k ≥ 0) रूप की प्रत्येक संख्या को 5 से विभाजित करने पर 3 शेष आता है। कथन Q: 5k − 2 (k ≥ 1) रूप की प्रत्येक संख्या को भी 5 से विभाजित करने पर 3 शेष आता है। कौन-सा सही है?

• A. केवल P
• B. केवल Q
• C. P और Q दोनों एक ही संख्या-समुच्चय का वर्णन करते हैं
• D. न P, न Q

Q5. सामग्री का सामान्यीकरण — यदि संख्या A, k से विभाज्य है, तो A का प्रत्येक गुणज भी k से विभाज्य है। निम्न में से कौन-सा उदाहरण इस नियम की पुष्टि करता है?

• A. 12, 4 से विभाज्य है; 12 × 7 = 84 भी 4 से विभाज्य है
• B. 12, 4 से विभाज्य है; 4, 12 से विभाज्य है
• C. 10, 5 से विभाज्य है; 30, 7 से विभाज्य है
• D. 15, 6 से विभाज्य है; 30, 6 से विभाज्य है

Q6. तीन प्राकृत संख्याएँ हैं जो प्रत्येक 6 से विभाजित करने पर 2 शेष देती हैं। इनके योग को 6 से भाग देने पर शेष होगा

• A. 0
• B. 2
• C. 4
• D. तय नहीं किया जा सकता

Q7. कथन देखें — 'एक विषम और एक सम संख्या का योग सदैव 6 का गुणज होता है।' यह कथन

• A. सदैव सत्य
• B. कभी-कभी सत्य
• C. कभी सत्य नहीं
• D. केवल तब सत्य जब दोनों संख्याएँ 10 से कम हों

Q8. 11-विभाज्यता नियम के लिए स्थानीय मानों की जाँच — 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 1001 − 1, 10000 = 9999 + 1, इत्यादि। यह दिखाता है कि स्थानीय मान बारी-बारी से

• A. सभी, 11 के किसी गुणज से 1 अधिक
• B. सभी, 11 के किसी गुणज से 1 कम
• C. बारी-बारी से 11 के किसी गुणज से 1 कम और 1 अधिक
• D. सदैव 11 के पूर्ण गुणज

Q9. 5184 के 6 से विभाज्य होने की जाँच भाग दिए बिना करने के लिए एक विद्यार्थी LCM-और-सहअभाज्यता का विचार लगाता है। निम्न में से कौन-सा जोड़ा (i) पर्याप्त है और (ii) 6 के सहअभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करता है?

• A. 2 से और 3 से विभाज्यता की जाँच
• B. 1 से और 6 से विभाज्यता की जाँच
• C. 2 से और 4 से विभाज्यता की जाँच
• D. 3 से और 9 से विभाज्यता की जाँच

Q10. रोहन कहता है — 'जो संख्या 4 व 6 दोनों से विभाज्य हो, वह 24 से भी विभाज्य होगी।' निम्न में से कौन-सी एक संख्या रोहन के दावे को सबसे अच्छा खंडित करती है?

• A. 12 — यह 4 व 6 दोनों से विभाज्य है किंतु 24 से नहीं
• B. 8 — यह 4 से विभाज्य है किंतु 6 से नहीं
• C. 18 — यह 6 से विभाज्य है किंतु 4 से नहीं
• D. 24 — यह तीनों से विभाज्य है

Q11. एक 8-अंकीय संख्या का अंकीय मूल 7 है। इस संख्या में 10 जोड़ने पर अंकीय मूल हो जाता है

• A. 7
• B. 8
• C. 9
• D. 1

Q12. सामग्री कहती है कि 3 के किसी भी गुणज का अंकीय मूल निम्न में से किसमें होगा?

• A. {1, 2, 3}
• B. {3, 6, 9}
• C. {0, 3, 9}
• D. 1 से 9 तक कोई भी एकल अंक

Q13. एक शिक्षिका देखती हैं कि कक्षा 8 के विद्यार्थी 9 का अंक-योग नियम तो सुना देते हैं, पर 'क्यों चलता है' नहीं बता पाते। 'संख्याओं का खेल' अध्याय में परिलक्षित NCF-2023 की भावना के अनुसार सबसे अच्छा अगला कदम है

• A. और संख्याओं पर अभ्यास कराएँ ताकि नियम तेज़ी से लग सके
• B. दिखाएँ कि 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 — अतः प्रत्येक स्थानीय मान अपने अंक के बराबर शेष देता है
• C. तुरंत 11 के नियम पर बढ़ जाएँ
• D. विद्यार्थियों से कहें कि यह 'जादू' है जिसकी व्याख्या ज़रूरी नहीं

Q14. एक विद्यार्थी 124 के 4 से विभाज्य होने की जाँच अंक-योग से करता है — 1 + 2 + 4 = 7, और निष्कर्ष निकालता है कि चूँकि 7, 4 से विभाज्य नहीं, अतः 124 भी 4 से विभाज्य नहीं। यह निष्कर्ष ग़लत है क्योंकि

• A. अंक-योग जाँच केवल 9 और 3 के लिए चलती है, 4 के लिए नहीं
• B. विद्यार्थी ने अंकों को ग़लत क्रम में जोड़ा
• C. 124 में केवल तीन अंक हैं — अंक-योग जाँच के लिए बहुत कम
• D. अंक-योग को 4 से गुणा करना चाहिए, भाग नहीं

Q15. गूढ़कलन AB + 37 = 6A में (प्रत्येक अक्षर भिन्न अंक, अग्रणी अंक 0 नहीं; A और B, 3 और 7 से भी भिन्न), A का मान है

• A. 2
• B. 5
• C. 6
• D. 9

Q16. अंशु 7 को दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिखती है। उसका प्रेक्षण किस समीकरण से दिखता है?

• A. 7 = 1 + 6
• B. 7 = 2 + 5
• C. 7 = 3 + 4
• D. 7 = 0 + 7

Q17. एक शिक्षक कक्षा 8 के विद्यार्थियों से बिना हल किए 124 − 38 + 56 की समता बताने को कहते हैं। केवल सामग्री के नियम (सम) ± (सम) = (सम) से परिणाम होगा

• A. विषम
• B. सम
• C. 4 का गुणज
• D. गणना के बिना तय नहीं किया जा सकता

Q18. सामग्री में (4p + 2) + (4q + 2) को चरण-दर-चरण सरल करता है। कौन-सी पंक्ति इसे 4 के एक गुणज के रूप में सही दर्शाती है?

• A. 4p + 4q + 4 = 4(p + q) + 4
• B. 4p + 4q + 4 = 4(p + q + 1)
• C. 4p + 4q + 4 = 4(p + q) + 2
• D. 4p + 4q + 4 = 8(p + q)

Q19. अध्याय दो विचारों के बीच सादृश्य बनाता है। विचार X: (सम) + (विषम) = विषम। विचार Y: (4 का गुणज) + (4q + 2) = ऐसी सम संख्या जो 4 की गुणज नहीं। यह सादृश्य काम करता है क्योंकि

• A. दोनों में दो 'प्रकारों' को मिलाने पर 'दूसरा' प्रकार मिलता है — X में विषम, Y में 'गुणज नहीं'
• B. दोनों में मिलाने पर पहला ही प्रकार मिलता है
• C. विचार Y, विचार X का विषम संख्याओं पर विशेष रूप है
• D. वास्तव में कोई सादृश्य नहीं — दोनों विचार असंबंधित हैं

Q20. सामग्री का सामान्य नियम — यदि संख्या A, k व m दोनों से विभाज्य है, तो A किस से भी विभाज्य होगी?

• A. k + m
• B. k × m
• C. k व m के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)
• D. k व m के महत्तम समापवर्तक (HCF)

Q21. कथन — 'यदि संख्या A, 7 से विभाज्य है, तो A, 7 के प्रत्येक गुणज से भी विभाज्य है।' उदाहरणों से यह कथन

• A. सदैव सत्य
• B. कभी-कभी सत्य
• C. कभी सत्य नहीं
• D. केवल तब सत्य जब A अभाज्य हो

Q22. सामग्री में किसी प्राकृत संख्या के अंकीय मूल (digital root) को निम्न के परिणाम के रूप में परिभाषित करता है

• A. इसके अंकों को एक बार आपस में गुणा करना
• B. संख्या के अंकों को बार-बार जोड़ते रहना जब तक एकल अंक न मिल जाए
• C. सबसे बड़े अंक में से सबसे छोटे अंक को घटाना
• D. संख्या के अंकों की संख्या गिनना

Q23. एक संख्या N, 6 के किसी गुणज से 1 अधिक है (अर्थात् N = 6k + 1)। निम्न में से कौन-सा N का अंकीय मूल नहीं हो सकता?

• A. 1
• B. 4
• C. 7
• D. 5

Q24. एक विद्यार्थी 487 + 296 जोड़कर उत्तर 783 लिखती है। वह अंकीय मूल से जाँच करती है। निम्न में से कौन-सी जाँच (बिना सही सिद्ध किए) यह दिखाती है कि उत्तर संगत है?

• A. 487 का अंकीय मूल 1; 296 का 8; 783 का 9; 1 + 8 = 9 — संगत
• B. 487 का अंकीय मूल 1; 296 का 8; 783 का 6; 1 + 8 = 9 ≠ 6 — निश्चित रूप से सही
• C. 487 का अंकीय मूल 4; 296 का 2; 783 का 7; 4 + 2 = 6 ≠ 7 — संगत
• D. किसी भी योग का अंकीय मूल सदा 9 होता है — उत्तर सही होगा ही

Q25. कक्षा 8 का एक विद्यार्थी कहता है — 'यदि किसी संख्या का अंकीय मूल सम हो, तो संख्या स्वयं भी सम होगी।' निम्न में से कौन-सा एक प्रति-उदाहरण इस दावे का खंडन करता है?

• A. 11 — इसका अंकीय मूल 2 (सम), पर 11 स्वयं विषम है
• B. 18 — इसका अंकीय मूल 9 (विषम), पर 18 सम है
• C. 20 — इसका अंकीय मूल 2 (सम), और 20 स्वयं सम है
• D. 13 — इसका अंकीय मूल 4 (सम), और 13 विषम है

Q26. कक्षा 8 की शिक्षिका '9 का अंक-योग नियम क्यों चलता है' पढ़ाने की योजना बनाती हैं। 'संख्याओं का खेल' (सामग्री) की भावना में सबसे अच्छा पहला कदम है

• A. विद्यार्थियों को रटवाएँ — 'कोई संख्या 9 से विभाज्य यदि अंक-योग 9 से विभाज्य'
• B. विद्यार्थियों से 10, 100, 1000 को (9 का गुणज) + 1 के रूप में लिखवाएँ और पैटर्न देखने को कहें
• C. 50 संख्याओं पर तेज़ी से नियम लगवाएँ
• D. किसी अंकीय-मूल कैलकुलेटर पर परिणाम दिखाकर सत्यापन कराएँ

Q27. दो शिक्षिकाएँ 'दो सम संख्याओं का योग 4 का गुणज' पढ़ाने के दो तरीक़ों की तुलना करती हैं। शिक्षिका A सामग्री के ब्लॉक-चित्रों से 4p व 4q + 2 दिखाती हैं और पूछती हैं कि कौन-से जोड़ 4-समूह में सजते हैं। शिक्षिका B नियम बताकर 20 योग जाँचने देती हैं। सामग्री की शिक्षाशास्त्र-भावना के अनुरूप क्या है?

• A. शिक्षिका A — दृश्य से दिखता है कि नियम 'क्यों' और 'कब असफल' होता है
• B. शिक्षिका B — जाँच से गति बढ़ती है जो CTET में जाँची जाती है
• C. दोनों समान रूप से उपयुक्त; अंतर शैली का
• D. हिंदी-माध्यम विद्यार्थियों के लिए B, अन्य के लिए A

Q28. सामग्री के धन–ऋण टोकन साधन से कक्षा 8 के विद्यार्थियों को यह विश्वास दिलाने का सबसे अच्छा क्रम क्या है कि a + b − c − d और a + b + c + d की समता समान है?

• A. समता-नियम रटवाएँ → टोकन दिखाएँ → निष्कर्ष बताएँ
• B. a, b, c, d के लिए टोकन रखें → c और d के चिह्न उलटें (हर बार 2 टोकन एक रंग के घटें, 2 दूसरे रंग के जुड़ें) → समता अपरिवर्तित देखें → सामान्यीकरण करें
• C. विशिष्ट संख्याओं पर दोनों व्यंजक हल करें → बराबर देखें → समान समता निष्कर्ष
• D. विद्यार्थियों को परिणाम बता दें और परीक्षा के लिए रटने को कहें

Q29. सामग्री के सदैव/कभी-कभी/कभी नहीं वाले कार्य पर 'अनुमान-साझा-सुनो' की कक्षा-व्यवस्था में एक विद्यार्थी कहता है — 'दो विषम संख्याओं का योग 4 का गुणज होता है।' शिक्षक का सबसे अच्छा अगला कदम क्या है?

• A. विद्यार्थी से कहें कि दावा ग़लत है और आगे बढ़ें
• B. विद्यार्थी से एक उदाहरण, फिर दूसरा माँगें और सुनें — 1 + 3 = 4 बनाम 1 + 5 = 6 जैसे प्रति-उदाहरण उसी की जाँच से उभरने दें
• C. लिखित परीक्षा लेकर देखें कि और कौन यह ग़लती करता है
• D. दावे को अनदेखा कर दें क्योंकि वह कुछ हद तक सत्य है

Q30. कक्षा 8 का एक विद्यार्थी लिखता है — 'चूँकि 4 × 6 = 24, अतः 4 व 6 दोनों से विभाज्य प्रत्येक संख्या 24 से भी विभाज्य होगी।' शिक्षक मूल त्रुटि पहचानना चाहते हैं। विद्यार्थी की मुख्य ग़लती है

• A. 'दोनों से विभाज्य' को 'योग से विभाज्य' समझना, गुणनफल से नहीं
• B. 4 व 6 को जोड़ने के बजाय गुणा करना
• C. जब k व m सहअभाज्य न हों तब LCM(k, m) की जगह k × m रखना (यहाँ 4 व 6 में 2 उभयनिष्ठ गुणनखंड है)
• D. पहले कैलकुलेटर से उदाहरण न जाँचना