घातों का खेल — निपुणता

Q1. सामग्री में 26 बार मोड़ने के बाद की मोटाई (लगभग 670 मीटर) की तुलना बुर्ज खलीफा की ऊँचाई (लगभग 830 मीटर) से करता है। सबसे सही तुलना है

• A. 26 बार मोड़ने के बाद कागज बुर्ज खलीफा से ऊँचा है।
• B. 26 बार मोड़ने के बाद कागज ठीक बुर्ज खलीफा का आधा है।
• C. 26 बार मोड़ने के बाद कागज बुर्ज खलीफा का लगभग दस गुणा है।
• D. 26 बार मोड़ने के बाद कागज लगभग बुर्ज खलीफा जितना ही ऊँचा है।

Q2. दमयंती दो जादुई तालाबों की तुलना करती है — तालाब A में कमल प्रतिदिन दोगुने होते हैं तथा तालाब B में तिगुने। दोनों में पहले दिन 1 कमल है। 5 दिनों के बाद तालाब B की संख्या तालाब A से कितने गुणा अधिक है?

• A. लगभग 16 गुणा
• B. लगभग 5 गुणा
• C. लगभग 1.5 गुणा
• D. लगभग 80 गुणा

Q3. सामग्री के नियम के अनुसार (−n)^a का अर्थ है (−n) को स्वयं से a बार गुणा करना। (−1)^5 का मान है

• A. 5
• B. −5
• C. 1
• D. −1

Q4. घात के अर्थ से 2 × 10^3 का मान है

• A. 60
• B. 200
• C. 8000
• D. 2000

Q5. सामग्री में 4^6 के लिए (4^3)^2 के अतिरिक्त एक और 'घात की घात' रूप दिखाता है। निम्न में से कौन-सा भी सही है?

• A. (4^2)^3
• B. केवल (4^6)^1 = (4^1)^6
• C. (4^2)^4
• D. (4^3)^3

Q6. नियम m^a × n^a = (mn)^a शब्दों में दिया गया है। सही कथन चुनिए

• A. जब दो घातों की घात समान हो, तो उनका गुणनफल आधारों के गुणनफल पर वही घात लगाने के बराबर होता है।
• B. जब दो घातों का आधार समान हो, तो उनका गुणनफल घातों के योग को आधार पर लगाने के बराबर होता है।
• C. जब दो घातों के आधार भिन्न हों, तो बड़ा आधार सदा जीतता है।
• D. जब दो घातों की घात समान हो, तो आधारों को भाग देकर उस घात पर लगाओ।

Q7. सामग्री में गणन-संख्याओं a व b के लिए (n^a)^b का व्यापक रूप देता है। सही नियम है (n^a)^b बराबर

• A. n^(a + b)
• B. n^(a − b)
• C. n^(a × b)
• D. (2n)^(a × b)

Q8. सामग्री बताती है कि किसी भी अशून्य n के लिए n^(−a) = 1/n^a। 10^(−3) का मान है

• A. −1000
• B. 1/30
• C. 1/1000
• D. −1/1000

Q9. '4 की घात रेखा' परनीचे का हर कदम पिछले मान को 4 से भाग देता है। 4^2 = 16 से शुरू कर दो कदम नीचे — अर्थात 4^0 — का मान है

• A. 1
• B. 0
• C. 4
• D. 1/4

Q10. 172 को 10 की घातों के प्रसारित (expanded) रूप में लिखिए। सही प्रसारित रूप है

• A. (1 × 10^2) + (7 × 10^1) + (2 × 10^0)
• B. (1 × 10^3) + (7 × 10^2) + (2 × 10^1)
• C. (1 + 7 + 2) × 10^2
• D. 172 × 10^0

Q11. चार विद्यार्थी 65950 को वैज्ञानिक रूप में लिखते हैं। सामग्री के नियम x × 10^y (जहाँ 1 ≤ x < 10) के अनुसार सही लेखन कौन-सा है?

• A. आशा: 65.95 × 10^3
• B. दीप: 6595 × 10^1
• C. चाँद: 0.6595 × 10^5
• D. बीना: 6.595 × 10^4

Q12. कोहिमा की जनसंख्या लगभग 1.42 × 10^5 है। इसे सामान्य संख्या (10 की घातों के बिना) के रूप में लिखने पर लगभग

• A. 14200
• B. 1420
• C. 142000
• D. 1420000

Q13. सामग्री में 'तुलाभार' को एक परंपरा बताता है, जिसमें किसी व्यक्ति को सामग्री (गुड़, गेहूँ, फल) से तौला जाता है और फिर वह सामग्री दान कर दी जाती है। सामग्री के अनुसार तुलाभार मुख्यतः कहाँ पाई जाने वाली परंपरा है?

• A. उत्तरी भारत
• B. पूर्वी भारत
• C. दक्षिणी भारत
• D. पश्चिमी हिमालय

Q14. एक कक्षा 8 शिक्षिका चाहती है कि बच्चे महसूस करें कि 10^7, 10^4 से बहुत-बहुत बड़ी है — केवल '3 अतिरिक्त शून्य' नहीं। सामग्री के आधार पर सबसे अच्छी पहली कक्षा-गतिविधि होगी

• A. बच्चों को रटवाना कि हर अतिरिक्त शून्य मान को 10 से गुणा करता है।
• B. ब्लैकबोर्ड पर '10 की घात रेखा' खींचना जिस पर हर दाहिने कदम का अर्थ × 10 हो, तथा बच्चों से 10^4 से 10^7 तक कदम-दर-कदम चलवाना।
• C. बच्चों से अपनी कापियों में 10^7 को साफ़-साफ़ लिखवाना।
• D. बच्चों को जनसंख्या के लंबे आँकड़े देकर उतारवाना।

Q15. सामग्री में पृथ्वी पर पानी की बूँदों की संख्या लगभग 2 × 10^25 तथा चींटियों की संख्या 2 × 10^16 बताता है। प्रत्येक चींटी पर लगभग कितनी पानी की बूँदें हैं?

• A. लगभग 10^9
• B. लगभग 10^16
• C. लगभग 10^41
• D. लगभग 10^25

Q16. एस्तु कहता है कि कागज को अधिक से अधिक 7 बार ही मोड़ा जा सकता है। रॉक्सी असहमत होती है और सामग्री मोड़ों की तालिका से बात तय करता है। एस्तु के दावे के विषय में सामग्री जो दिखाती है, उसे सबसे अच्छी तरह कौन व्यक्त करता है?

• A. एस्तु सही है — 7वें मोड़ के बाद कागज को गणितीय रूप से मोड़ना असंभव है।
• B. एस्तु सही है क्योंकि 2^7 = 128 कागज मोड़ने की सीमा के भीतर 2 की सबसे बड़ी घात है।
• C. एस्तु का दावा केवल व्यावहारिक (भौतिक) सीमा है; गणितीय रूप से अध्याय उसी कागज को 46 बार मोड़कर चंद्रमा तक पहुँचाता है।
• D. एस्तु का दावा तिगुने होने पर आधारित है, दोगुने पर नहीं, अतः इसका 2^7 से कोई संबंध नहीं।

Q17. सामग्री में रैखिक वृद्धि को परिभाषित करता है। निम्न में से कौन-सी कक्षा-स्थिति रैखिक वृद्धि (चरघातांकी नहीं) का सबसे अच्छा उदाहरण है?

• A. तालाब के कमलों की संख्या प्रतिदिन दोगुनी होती है।
• B. हर मोड़ पर कागज की मोटाई दोगुनी हो जाती है।
• C. गुल्लक में हर सप्ताह ₹50 जमा किए जाते हैं।
• D. बर्तन के जीवाणु प्रत्येक घंटे दो भागों में बँट जाते हैं।

Q18. सामग्री के मोड़-मोटाई पैटर्न का उपयोग करते हुए 3 बार मोड़ने के बाद कागज की मोटाई मूल मान से कितने गुणा बढ़ जाती है?

• A. 3 गुणा
• B. 6 गुणा
• C. 8 गुणा
• D. 9 गुणा

Q19. चरघातांकी व्यंजक n^3 का अर्थ है

• A. n + n + n
• B. n × n × n
• C. 3 × n
• D. n × 3 × 3

Q20. सामग्री में a^3 × b^2 की व्याख्या करने को कहता है। घातों के बिना इस व्यंजक का मान है

• A. a × a × a × b × b
• B. a × b × a × b × a × b
• C. (a × b)^5
• D. 5 × a × b

Q21. सामग्री में घातों के लिए भाग के नियम का व्यापक रूप देता है। गणन-संख्याओं a > b तथा किसी भी अशून्य आधार n के लिए n^a ÷ n^b का मान है

• A. n^(a + b)
• B. n^(a × b)
• C. n^(a − b)
• D. n^(a ÷ b)

Q22. सामग्री के ऋणात्मक-घात नियम से 4^(−2) का मान है

• A. −16
• B. 1/16
• C. −1/8
• D. 1/8

Q23. सामग्री के ऋणात्मक-घात नियम से निम्न में से कौन-सा 10^3 के बराबर है?

• A. 10^(−3)
• B. 1/10^(−3)
• C. 1/10^3
• D. 10 × (−3)

Q24. सामग्री की 10 की घातों वाली विधि से 80 लाख जनसंख्या को वैज्ञानिक (मानक) रूप में लिखने पर

• A. 8 × 10^5
• B. 8 × 10^6
• C. 80 × 10^5
• D. 8 × 10^7

Q25. सामग्री में 5-अंकीय संख्याओं को मानक रूप x × 10^y (1 ≤ x < 10) में लिखता है। 59853 का मानक रूप है

• A. 59.853 × 10^3
• B. 5.9853 × 10^4
• C. 0.59853 × 10^5
• D. 5985.3 × 10^1

Q26. सामग्री बताती है कि मानक रूप x × 10^y (1 ≤ x < 10) में घात y परिमाण का क्रम झटपट दिखा देती है। आशा कोहिमा की जनसंख्या 1.42 × 10^5 तथा मुम्बई की 2 × 10^7 लिखती है। बिना गणना के मुम्बई की जनसंख्या लगभग है

• A. कोहिमा से 10 गुणा
• B. कोहिमा से 100 गुणा
• C. कोहिमा से 1000 गुणा
• D. कोहिमा से 10000 गुणा

Q27. सामग्री में उत्तरी श्वेत गैंडे की विश्व जनसंख्या 2 × 10^0 बताता है। सामान्य संख्या के रूप में इसका अर्थ है कि विश्व में लगभग

• A. 20 उत्तरी श्वेत गैंडे हैं
• B. 2 उत्तरी श्वेत गैंडे हैं
• C. 200 उत्तरी श्वेत गैंडे हैं
• D. 0 उत्तरी श्वेत गैंडे हैं

Q28. सामग्री की तालिका दिखाने से पहले शिक्षक कक्षा से पूछती है — '0.001 सेंटीमीटर वाले कागज को 30 बार मोड़ने पर मोटाई कितनी होगी, अनुमान लगाओ।' अधिकांश बच्चे 3 से 30 सेंटीमीटर के बीच अनुमान लगाते हैं। सामग्री के आधार पर सबसे अच्छा अगला शिक्षण-कदम होगा

• A. सभी उत्तरों को ग़लत बताकर बोर्ड पर 10.7 किलोमीटर लिख देना।
• B. बच्चों से हर मोड़ की मोटाई (0.001, 0.002, 0.004, …) क्रम में लिखवाना तथा दोगुना होने का पैटर्न पहचान कराना, तत्पश्चात 30वें मोड़ का मान बताना।
• C. नियम 0.001 × 2^n देकर बच्चों से कैलकुलेटर पर n = 30 के लिए मान निकलवा देना।
• D. अनुमान छोड़कर सीधे चरघातांकी संकेतन पढ़ाना।

Q29. कक्षा 8 का एक विद्यार्थी लिखता है — 2^5 = 2 × 5 = 10। सामग्री में आधार व घात के अर्थ के आधार पर इस त्रुटि को सुधारने का सबसे अच्छा शिक्षण-क्रम कौन-सा है?

• A. ग़लत निशान लगाकर बोर्ड पर 32 लिखकर आगे बढ़ जाना।
• B. 2^5 को 'दो की घात पाँच' पढ़ना, फिर 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 दिखाना, और अलग पंक्ति में 2 × 5 = 10 के साथ इसकी तुलना करना।
• C. कैलकुलेटर पर 2^5 = 32 दिखाकर विद्यार्थी को इसे याद करने को कहना।
• D. केवल इतना बताना कि 2^5 का अर्थ है '5 दो' — और कुछ नहीं।

Q30. सामग्री में अफ़्रीकी हाथियों की जनसंख्या 4 × 10^5 तथा मानव-जनसंख्या 8.2 × 10^9 बताता है। प्रत्येक अफ़्रीकी हाथी पर पृथ्वी पर लगभग कितने मनुष्य रहते हैं?

• A. लगभग 20
• B. लगभग 2050
• C. लगभग 20500
• D. लगभग 2 लाख