समानुपातिक तर्कण-1 — निपुणता

Q1. अध्याय का आरंभबाघ की पाँच तस्वीरों — क, ख, ग, घ, ङ — से होता है। अनुपात की परिभाषा देने से पहले इन्हें विद्यार्थियों को क्यों दिखाया जाता है?

• A. स्केल से नापने का अभ्यास कराने के लिए।
• B. तस्वीरों के रंगों की तुलना करने के लिए।
• C. ताकि विद्यार्थी देखें कि क, ग, घ एक समान दिखती हैं जबकि ख और ङ विकृत — और पूछें 'क्यों?'।
• D. हर तस्वीर में बाघ की टाँगें गिनने के लिए।

Q2. एक कक्षा 8 शिक्षक 'समानुपातिक तर्कण' का परिचय कराना चाहता है। चार विकल्प सामने हैं। अध्याय की रचना को देखते हुए सबसे उपयुक्त पहली गतिविधि कौन-सी है?

• A. बोर्ड पर ad = bc सूत्र लिखकर विद्यार्थियों को रटवाना।
• B. दस मिनट तक संख्या-युग्मों के म.स.प. का अभ्यास कराना।
• C. फ़ारेनहाइट से सेल्सियस के सूत्र से शुरुआत करना।
• D. एक ही चित्र को भिन्न-भिन्न आकारों में छपा हुआ दिखाना और पूछना कौन-से एक समान दिखते हैं, कौन-से विकृत — फिर 'क्यों?' पूछना।

Q3. एक ईंट-डिज़ाइन में 24 भूरी ईंटें और 36 रंगीन ईंटें हैं। सारा भूरी से रंगीन ईंटों का अनुपात सरलतम रूप में लिखती है। उसे मिलता है

• A. 24 : 36
• B. 12 : 18
• C. 2 : 3
• D. 3 : 2

Q4. चित्र 'ङ' (60 मि.मी. × 60 मि.मी.) वर्गाकार दिखता है — एक 'दबा हुआ' बाघ। 'ङ' की 'क' (60 मि.मी. × 40 मि.मी.) से तुलना करने पर 'ङ' के विकृत दिखने का सर्वोत्तम कारण कौन-सा है?

• A. 'ङ' में चौड़ाई व ऊँचाई बराबर हैं परंतु 'क' में नहीं — सरलतम रूप 1 : 1 व 3 : 2 भिन्न हैं।
• B. 'ङ' को 'क' से छोटे काग़ज़ पर छापा गया है।
• C. 'ङ' की चौड़ाई 'क' की चौड़ाई से अधिक है।
• D. 'ङ' की ऊँचाई 'क' की चौड़ाई के बराबर है।

Q5. अमन जाँच रहा है कि क्या 12 : 18 :: 28 : 42 सही है। वह दोनों अनुपातों को सरलतम रूप में लाता है। सही निष्कर्ष कौन-सा है?

• A. 12 : 18 = 2 : 3 और 28 : 42 = 2 : 3, अतः समानुपात सही है।
• B. 12 : 18 = 2 : 3 और 28 : 42 = 4 : 6, अतः समानुपात ग़लत है।
• C. 12 : 18 = 6 : 9 और 28 : 42 = 14 : 21, अतः समानुपात ग़लत है।
• D. 12 : 18 = 3 : 2 और 28 : 42 = 3 : 2, अतः समानुपात सही है।

Q6. क्या अनुपात 24 : 8 और 9 : 3 समानुपातिक हैं? सही तर्क चुनिए।

• A. नहीं, क्योंकि 24 ≠ 9 और 8 ≠ 3।
• B. हाँ, क्योंकि दोनों का सरलतम रूप 3 : 1 है।
• C. हाँ, क्योंकि 24 × 3 = 9 × 8 = 72, अतः ad = bc।
• D. B और C दोनों जाँचने के सही तरीक़े हैं।

Q7. केसांग की विधि — 6 गिलास : 10 चम्मच चीनी। अब वह 9 गिलासों में वही मिठास चाहती है। समानुपातिक तर्कण का सही समीकरण कौन-सा है?

• A. 6 + 9 = 10 + s, अतः s = 5 चम्मच।
• B. 6 : 10 :: 9 : s, जिससे s = (10 × 9) ÷ 6 = 15 चम्मच।
• C. 6 × 9 = 10 × s, अतः s = 5.4 चम्मच।
• D. 10 − 6 = s − 9, अतः s = 13 चम्मच।

Q8. नितिन की दीवार — 60 फुट, 3 थैले सीमेंट। हरि की दीवार — 40 फुट, 2 थैले। दोनों दीवारें समान रूप से सुदृढ़ क्यों हैं, जबकि लंबाई व थैलों की संख्या भिन्न हैं?

• A. क्योंकि 60 और 40 में 20 का गणक समान है।
• B. क्योंकि दोनों मामलों में लंबाई-से-थैलों का अनुपात 20 : 1 के सरलतम रूप में आता है, अतः प्रति फुट सीमेंट समान है।
• C. क्योंकि 2 थैले किसी भी दीवार के 40 फुट बना सकते हैं।
• D. क्योंकि अध्याय मानता है कि सीमेंट के सभी थैले समान आकार के हैं।

Q9. अनघ का फलों का रस संतरे व सेब के रस को 2 : 3 के अनुपात (600 : 900 मि.ली. का सरलतम रूप) में मिलाता है। अब उसके पास 1.2 लीटर संतरे का रस है और वह वही अनुपात रखना चाहता है। तीन के नियम से उसे कितना सेब का रस चाहिए?

• A. 0.8 लीटर
• B. 1.5 लीटर
• C. 1.8 लीटर
• D. 2.4 लीटर

Q10. हरमन 1 वर्ष की है और उसका भाई 5 वर्ष का। कितने वर्षों बाद उनकी आयुओं का अनुपात 1 : 2 हो जाएगा?

• A. 1 वर्ष — हरमन 2, भाई 6, अनुपात 2 : 6 = 1 : 3।
• B. 2 वर्ष — हरमन 3, भाई 7, अनुपात 3 : 7।
• C. 3 वर्ष — हरमन 4, भाई 8, अनुपात 4 : 8 = 1 : 2।
• D. 4 वर्ष — हरमन 5, भाई 9, अनुपात 5 : 9।

Q11. एक विज्ञान प्रयोगशाला में अम्ल और जल को 1 : 5 के अनुपात में मिलाकर विलयन बनाया जाता है। एक बोतल में 240 मि.ली. विलयन है। उसमें कितना अम्ल और कितना जल है?

• A. 40 मि.ली. अम्ल, 200 मि.ली. जल
• B. 48 मि.ली. अम्ल, 192 मि.ली. जल
• C. 60 मि.ली. अम्ल, 180 मि.ली. जल
• D. 120 मि.ली. अम्ल, 120 मि.ली. जल

Q12. नीले व पीले रंग को 3 : 5 के अनुपात में मिलाकर हरा रंग बनाया जाता है। 40 मि.ली. हरा रंग बनाने के बाद कलाकार रंग को हल्का करने के लिए 20 मि.ली. पीला और मिला देता है। नीले से पीले का नया अनुपात क्या है?

• A. 3 : 5
• B. 15 : 25
• C. 3 : 9, अर्थात 1 : 3
• D. 3 : 10

Q13. विगत वर्ष 3 बसों ने 162 विद्यार्थियों को ढोया था, सभी सीटें भरी थीं। इस वर्ष 204 विद्यार्थियों को जाना है। कितनी पूर्ण बसें चाहिए?

• A. 3 बसें
• B. 4 बसें, कुछ सीटें ख़ाली रहेंगी
• C. 5 बसें
• D. ठीक 3.78 बसें

Q14. एक गतिविधि में शैम्पू-मूल्य दिए हैं — कोष्ठ 6 मि.ली. ₹2, छोटी बोतल 180 मि.ली. ₹154, मध्यम बोतल 340 मि.ली. ₹276। हेमा कोष्ठ व मध्यम बोतल के आयतन-से-मूल्य अनुपात की समानुपातिकता जाँचना चाहती है। सही निष्कर्ष कौन-सा है?

• A. दोनों का सरलतम रूप 3 : 1 है, अतः समानुपातिक हैं।
• B. कोष्ठ का 3 : 1; मध्यम बोतल का 85 : 69; ये समानुपातिक नहीं हैं।
• C. कोष्ठ का 1 : 3; मध्यम बोतल का 1 : 3; अतः समानुपातिक हैं।
• D. वे समानुपातिक हैं क्योंकि दोनों उत्पाद एक ही कंपनी के हैं।

Q15. एक शिक्षक बोर्ड पर एक सारणी बनाते हैं — क — 60×40, ख — 80×60, ग — 30×20, घ — 90×60, ङ — 60×60 — और कक्षा 8 से पूछते हैं — 'क के समानुपाती कौन-से चित्र हैं?' चार विद्यार्थी उत्तर देते हैं। सबसे सशक्त तर्क किसका है?

• A. रिया — ख, क्योंकि 80 − 60 = 20 और 60 − 40 = 20, समान अंतर।
• B. साहिल — केवल ग, क्योंकि ग ठीक क का आधा है।
• C. मीरा — ग और घ, क्योंकि दोनों का सरलतम रूप 3 : 2 है — क के समान।
• D. विवेक — चारों, क्योंकि सभी में बाघ है।

Q16. नरम इडली बनाने के लिए चावल और उड़द दाल को 2 : 1 के अनुपात में मिलाया जाता है। इस मिश्रण के 6 कप बनाने के लिए कितने कप चावल और कितने कप उड़द दाल चाहिए?

• A. 4 कप चावल, 2 कप उड़द दाल
• B. 3 कप चावल, 3 कप उड़द दाल
• C. 2 कप चावल, 4 कप उड़द दाल
• D. 5 कप चावल, 1 कप उड़द दाल

Q17. नारंगी रंग की एक बाल्टी लाल और पीले रंग को 3 : 5 के अनुपात में मिलाकर बनाई गई थी। उसी आकार की शुद्ध पीले रंग की दूसरी बाल्टी इसमें मिला दी गई। मिश्रण में लाल से पीले रंग का नया अनुपात क्या होगा?

• A. 3 : 5
• B. 3 : 10
• C. 3 : 13
• D. 3 : 6

Q18. पृथ्वी एक वर्ष में सूर्य के चारों ओर लगभग 940 मिलियन कि.मी. की दूरी तय करती है। समानुपातिक तर्कण से वह एक सप्ताह में लगभग कितनी मिलियन कि.मी. की दूरी तय करेगी?

• A. लगभग 18 मिलियन कि.मी.
• B. लगभग 78 मिलियन कि.मी.
• C. लगभग 134 मिलियन कि.मी.
• D. लगभग 2.6 मिलियन कि.मी.

Q19. एक राजमिस्त्री 10 फुट लंबी दीवार बनाने में लगभग 1,450 ईंटें लगाता है। सभी दीवारों की ऊँचाई व मोटाई समान मानते हुए 25 फुट लंबी दीवार के लिए लगभग कितनी ईंटें चाहिए?

• A. 2,900 ईंटें
• B. 3,625 ईंटें
• C. 4,350 ईंटें
• D. 1,450 ईंटें

Q20. दिल्ली का क्षेत्रफल 1,484 वर्ग कि.मी. और जनसंख्या लगभग 3 करोड़ है। मुंबई का क्षेत्रफल 550 वर्ग कि.मी. और जनसंख्या लगभग 2 करोड़ है। कौन-सा शहर अधिक जनसंख्या वाला (घना) है और क्यों?

• A. दिल्ली, क्योंकि उसकी जनसंख्या अधिक है।
• B. मुंबई, क्योंकि जनसंख्या-से-क्षेत्रफल अनुपात (≈ 36,000 प्रति वर्ग कि.मी.) दिल्ली (≈ 20,000) से अधिक है।
• C. दोनों समान घने हैं क्योंकि दिल्ली में क्षेत्रफल व जनसंख्या दोनों अधिक हैं।
• D. दिल्ली, क्योंकि उसका क्षेत्रफल अधिक है।

Q21. एक सारस की कुल ऊँचाई 155 सें.मी. है तथा उसकी गर्दन व शेष शरीर का अनुपात 4 : 6 है। यदि एक 150 सें.मी. ऊँचाई वाली छात्रा की गर्दन व शेष शरीर का अनुपात भी 4 : 6 हो, तो उसकी गर्दन कितनी लंबी होगी?

• A. 40 सें.मी.
• B. 60 सें.मी.
• C. 62 सें.मी.
• D. 100 सें.मी.

Q22. एक कक्षा 8 मीटर लंबी है। 1 मीटर = 3.281 फुट के रूपांतरण से कक्षा की लंबाई फुट में लगभग है

• A. 21.6 फुट
• B. 26.2 फुट
• C. 32.8 फुट
• D. 11.3 फुट

Q23. सूत्र फ़ारेनहाइट = (9/5) × सेल्सियस + 32 का उपयोग कर मानव शरीर का सामान्य तापमान 37°C फ़ारेनहाइट में है

• A. 66.6°F
• B. 98.6°F
• C. 94.5°F
• D. 100°F

Q24. 1 हेक्टेयर = 2.471 एकड़। एक किसान के पास 5 हेक्टेयर भूमि है। यह लगभग कितने एकड़ है?

• A. लगभग 12.4 एकड़
• B. लगभग 7.5 एकड़
• C. लगभग 2.0 एकड़
• D. लगभग 24.7 एकड़

Q25. शैम्पू-सारणी में दिया है — कोष्ठ 6 मि.ली. ₹2 और बड़ी बोतल 1000 मि.ली. ₹540। प्रति मि.ली. मूल्य की सही तुलना कौन-सी है?

• A. कोष्ठ का मूल्य ≈ ₹0.33 प्रति मि.ली.; बड़ी बोतल का ≈ ₹0.54 प्रति मि.ली. — अतः कोष्ठ प्रति मि.ली. सस्ता है।
• B. कोष्ठ का ≈ ₹0.33 प्रति मि.ली.; बड़ी बोतल का ≈ ₹0.54 प्रति मि.ली. — अतः बड़ी बोतल प्रति मि.ली. सस्ती है।
• C. दोनों समान मूल्य प्रति मि.ली. के हैं क्योंकि दोनों एक ही ब्रांड के शैम्पू हैं।
• D. अध्याय इस तुलना की अनुमति नहीं देता।

Q26. एक शिक्षक अध्याय पढ़ाने की योजना बना रहा है। अनुपात व समानुपात की धारणा जिस क्रम से बनती है, उसके अनुरूप शिक्षण-क्रम कौन-सा है?

• A. अनुपात की सांकेतिक परिभाषा → समानुपात चिह्न → म.स.प. अभ्यास → लुप्त पद की समस्याएँ।
• B. बाघ-तस्वीरें दिखाकर 'कौन-सी एक समान दिखती हैं?' → चौड़ाई-ऊँचाई नापना → अनुपात लिखना → म.स.प. से सरलतम रूप → समान सरलतम रूप होने पर '::' का परिचय।
• C. आर्यभट का त्रैरासिक नियम → ad = bc → नींबू पानी व दीवार पर लगाना।
• D. फ़ारेनहाइट-सेल्सियस सूत्र → उससे समानुपात निकालना → फिर अनुपात समझाना।

Q27. एक कक्षा 8 की छात्रा लिखती है — 'अनुपात 3 : 5 और 8 : 10 बराबर हैं क्योंकि मैंने दोनों पदों में 5 जोड़ा।' इस त्रुटि का सबसे सटीक निदान क्या है?

• A. उसने 'दोनों पदों में समान संख्या जोड़ना' को 'दोनों पदों को समान गणक से गुणा करना' समझ लिया, जबकि अनुपात गुणन से ही सुरक्षित रहता है।
• B. उसे 3 व 5 का म.स.प. निकालना नहीं आता।
• C. वह भूल गई कि अनुपात में एक-अंकीय संख्याएँ नहीं हो सकतीं।
• D. उसने दूसरे अनुपात को ग़लत क्रम में लिखा।

Q28. एक उदाहरण निष्कर्ष देता है कि हिमाचल की चाय (200 ग्राम ₹200) मेघालय की चाय (1 कि.ग्रा. ₹800) से अधिक महँगी है। समानुपातिक तर्कण से इस निष्कर्ष की सर्वोत्तम पुष्टि कौन-सी है?

• A. हिमाचल का मूल्य ₹200, मेघालय का ₹800। चूँकि ₹800 > ₹200, मेघालय अधिक महँगी है।
• B. 1 कि.ग्रा. हिमाचल चाय का मूल्य = 5 × ₹200 = ₹1,000, परंतु 1 कि.ग्रा. मेघालय चाय का केवल ₹800 — अतः प्रति कि.ग्रा. हिमाचल अधिक महँगी है।
• C. दोनों चायों का प्रति ग्राम मूल्य समान है क्योंकि सरलतम रूप 1 : 1 और 5 : 4 हैं।
• D. 200 ग्राम का पैकेट ही सस्ता है, अतः हिमाचल सस्ती है।

Q29. वज्र गुणन से कौन-सी जाँच पुष्टि करती है कि चित्र 'घ' (90 × 60) चित्र 'क' (60 × 40) के समानुपाती है?

• A. 60 + 60 = 90 + 40
• B. 60 × 40 = 90 × 60
• C. 60 × 60 = 90 × 40, अर्थात 3600 = 3600
• D. 60 ÷ 60 = 90 ÷ 40

Q30. नीचे दी गई रोज़मर्रा की स्थितियों में से कौन-सी a : b :: c : d रूप के समानुपात के रूप में नहीं दिखाई जा सकती?

• A. 6, 12 या 18 गिलास नींबू पानी में समान मिठास बनाए रखने के लिए चीनी।
• B. भिन्न-भिन्न लंबाइयों की दीवारें (समान ऊँचाई व मोटाई) बनाने में आवश्यक ईंटें।
• C. एक नियत दूरी तय करने में लगने वाला समय जब गति दुगुनी कर दी जाए।
• D. 120, 80 या 240 विद्यार्थियों को समान प्रति-व्यक्ति राशन देने के लिए चावल।