चतुर्भुज — कठिन

Q1. किसी चतुर्भुज के चारों कोण 1 : 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं। सबसे बड़े कोण का माप है

• A. 108°
• B. 120°
• C. 144°
• D. 150°

Q2. कथन I: ऐसा समचतुर्भुज (rhombus) जिसका एक कोण 90° हो, वर्ग है। कथन II: ऐसा आयत जिसकी एक जोड़ी आसन्न भुजाएँ बराबर हों, वर्ग है। निम्न में से कौन-सा सही है?

• A. केवल कथन I सत्य है
• B. केवल कथन II सत्य है
• C. कथन I तथा कथन II दोनों सत्य हैं
• D. न कथन I सत्य है, न कथन II

Q3. अभिकथन (A): प्रत्येक समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। कारण (R): प्रत्येक समांतर चतुर्भुज में विकर्ण समान लंबाई के होते हैं।

• A. A तथा R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
• B. A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है
• C. A सत्य है, R असत्य है
• D. A असत्य है, R सत्य है

Q4. सामग्री की समलंब (trapezium) की परिभाषा के अनुसार ये कथन देखिए: I. प्रत्येक समांतर चतुर्भुज समलंब है। II. प्रत्येक समलंब समांतर चतुर्भुज है। III. प्रत्येक आयत समलंब है। इनमें कौन-सा सही है?

• A. केवल I व II
• B. केवल II व III
• C. केवल I व III
• D. तीनों

Q5. एक विद्यार्थी कहता है — 'यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण समान हों तथा एक-दूसरे को समद्विभाजित करें, तो चतुर्भुज वर्ग होना ही चाहिए।' अध्याय के निगमनों से यह दावा है

• A. सही — समान व समद्विभाजित विकर्ण वर्ग के लिए पर्याप्त हैं
• B. ग़लत — ये दो शर्तें केवल आयत बनाती हैं; वर्ग के लिए विकर्णों का लंबवत होना भी ज़रूरी है
• C. सही — परंतु तभी जब एक कोण 90° भी हो
• D. ग़लत — ये शर्तें आयत भी नहीं बनातीं

Q6. समांतर चतुर्भुज ABCD में ∠A = 65°। सामग्री के समांतर-चतुर्भुज कोण-गुणधर्मों से ∠B + ∠C का मान है

• A. 115°
• B. 130°
• C. 180°
• D. 245°

Q7. PQRS एक पतंग (kite) है जिसमें PQ = PS तथा RQ = RS । इसके विकर्णों के बारे में कौन-सा कथन सत्य है?

• A. दोनों विकर्ण समान लंबाई के हैं
• B. दोनों विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
• C. विकर्ण एक-दूसरे पर लंबवत हैं
• D. दोनों विकर्ण चारों अंत:कोणों को समद्विभाजित करते हैं

Q8. चतुर्भुज ABCD में ∠A = 70° व ∠B = 110°। यदि शेष दो कोण ∠C तथा ∠D एक-दूसरे के बराबर हों, तो ∠C का माप है

• A. 70°
• B. 80°
• C. 90°
• D. 110°

Q9. समचतुर्भुज ABCD में विकर्ण BD खींचा गया है। यदि ∠ABD = 35° हो, तो ∠ABC है

• A. 35°
• B. 55°
• C. 70°
• D. 110°

Q10. कक्षा 8 का एक विद्यार्थी कहता है — 'समलंब (trapezium) कभी समांतर चतुर्भुज नहीं हो सकता क्योंकि समलंब में ठीक एक जोड़ी समांतर भुजाएँ होती हैं।' सामग्री की परिभाषा के अनुसार इस विद्यार्थी ने

• A. परिभाषा सही कही है
• B. 'कम-से-कम एक जोड़ी' को 'ठीक एक जोड़ी' से भ्रमित कर लिया है
• C. समलंब को पतंग से भ्रमित कर लिया है
• D. भूल गया है कि समलंब के विकर्ण समान होते हैं

Q11. कथन A: प्रत्येक वर्ग समचतुर्भुज (rhombus) है। कथन B: प्रत्येक समचतुर्भुज वर्ग है। सामग्री के अनुसार सही क्या है?

• A. A सत्य, B सत्य
• B. A सत्य, B असत्य
• C. A असत्य, B सत्य
• D. A असत्य, B असत्य

Q12. कक्षा 8 की एक अध्यापिका विद्यार्थियों से 1000 अलग-अलग आयतों के विकर्ण मापने को कहती हैं। हर बार दोनों विकर्ण समान निकलते हैं। अध्याय के तर्क के अनुसार सबसे अच्छा निष्कर्ष है

• A. अब यह सिद्ध हो गया कि हर आयत के विकर्ण समान होते हैं
• B. यह एक मज़बूत अनुमान (conjecture) है; सार्वत्रिक दावे के लिए अभी भी निगमन 1 जैसी निगमनात्मक उपपत्ति चाहिए
• C. यह केवल 10 cm से छोटे आयतों के लिए परिणाम सिद्ध करता है
• D. यह निगमन 1 का खंडन करता है

Q13. 'हर वर्ग आयत है' को इस सादृश्य से समझा जाता है — एक मलयाली भारतीय है, परंतु हर भारतीय मलयाली नहीं। कक्षा 8 में इस सादृश्य का उद्देश्य दिखाना है कि

• A. वर्ग व आयत में कोई समान गुणधर्म नहीं हैं
• B. एक छोटा, अधिक विशिष्ट समुच्चय एक बड़े, सामान्य समुच्चय के अंदर समाहित होता है
• C. भारतीय आकृतियाँ वर्ग हैं और विदेशी आकृतियाँ आयत
• D. वर्ग व आयत एक ही आकृति हैं

Q14. सामग्री के आधार पर पतंग (kite) तथा समचतुर्भुज (rhombus) के बीच सही सम्बन्ध क्या है?

• A. हर पतंग समचतुर्भुज है और हर समचतुर्भुज पतंग है
• B. हर समचतुर्भुज पतंग है, परंतु हर पतंग समचतुर्भुज नहीं
• C. हर पतंग समचतुर्भुज है, परंतु हर समचतुर्भुज पतंग नहीं
• D. पतंग व समचतुर्भुज में कुछ भी समान नहीं

Q15. समलंब ABCD में AB ∥ CD। यदि ∠A = 75°, तो ∠D है

• A. 15°
• B. 75°
• C. 105°
• D. 115°