चतुर्भुज — निपुणता

Q1. किसी भी चतुर्भुज में 'शीर्ष' (vertex) से अभिप्राय है

• A. वह बिंदु जहाँ दो आसन्न भुजाएँ मिलती हैं
• B. किसी भी भुजा का मध्यबिंदु
• C. वह बिंदु जहाँ दोनों विकर्ण काटते हैं
• D. आकृति की सबसे लंबी भुजा

Q2. कक्षा 8 की एक अध्यापिका 'चतुर्भुज' का अध्याय शुरू कर रही हैं। सामग्री की शुरुआत के अनुरूप कक्षा-कक्ष की सबसे अच्छी पहली गतिविधि कौन-सी है?

• A. पहले ही दिन प्रत्येक विशेष चतुर्भुज की परिभाषा बोलकर लिखवा देना
• B. सबसे पहले अनुपात-आधारित बीस कोण-समस्याएँ हल कराना
• C. किसी भी उदाहरण से पहले कोण-योग का परिणाम रटवाना
• D. पाँच आकृतियाँ दिखाकर पूछना कि कौन-सी चतुर्भुज है और क्यों

Q3. रोहित प्रत्येक आयत के तीन गुण लिखता है: (i) सभी कोण 90°, (ii) सम्मुख भुजाएँ बराबर, (iii) सम्मुख भुजाएँ समांतर। हर आयत के लिए इनमें कौन-से सत्य हैं?

• A. केवल (i) व (ii)
• B. केवल (i) व (iii)
• C. केवल (ii) व (iii)
• D. (i), (ii) व (iii) तीनों

Q4. अभिकथन (A): अवतल (concave — तीर-नुमा) चतुर्भुज के चारों अंत:कोणों का योग भी 360° होता है। कारण (R): किसी भी चतुर्भुज में एक विकर्ण खींचने से वह दो त्रिभुजों में बँट जाता है, और हर त्रिभुज का कोण-योग 180° होता है।

• A. A तथा R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है
• B. A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है
• C. A सत्य है, R असत्य है
• D. A असत्य है, R सत्य है

Q5. सामग्री तर्क देती है कि समचतुर्भुज भी समांतर चतुर्भुज है। दिया गया कारण है

• A. क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं
• B. क्योंकि हर समचतुर्भुज में कम-से-कम एक समकोण होता है
• C. क्योंकि विकर्ण समचतुर्भुज के कोणों को समद्विभाजित करते हैं
• D. क्योंकि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं, विशेषतः सम्मुख भुजाएँ बराबर तथा समांतर हैं

Q6. एक विद्यार्थी निष्कर्ष देता है — 'जिस भी चतुर्भुज के दोनों विकर्ण समान हों वह आयत होगा।' इस निष्कर्ष को ग़लत सिद्ध करने वाला अध्याय का सर्वोत्तम प्रति-उदाहरण है

• A. वर्ग — इसके विकर्ण समान हैं, परंतु यह आयत का विशेष रूप ही है
• B. समचतुर्भुज — इसके विकर्ण समान होते हैं
• C. पतंग — इसके विकर्ण समान होते हैं
• D. समद्विबाहु समलंब — इसके विकर्ण समान होते हैं फिर भी यह आयत नहीं है

Q7. समांतर चतुर्भुज PQRS में PQ = 7 cm तथा QR = 4 cm। सामग्री के निगमन 7 से RS तथा SP की लंबाइयाँ क्रमशः हैं

• A. 7 cm तथा 4 cm
• B. 4 cm तथा 7 cm
• C. 7 cm तथा 7 cm
• D. 4 cm तथा 4 cm

Q8. सामग्री के वेन-आरेख से, निम्न में से वर्ग को समाहित करने वाला सबसे छोटा समुच्चय कौन-सा है?

• A. समांतर चतुर्भुज
• B. समलंब
• C. चतुर्भुज
• D. आयत ∩ समचतुर्भुज (वे आकृतियाँ जो आयत भी हों और समचतुर्भुज भी)

Q9. किसी चतुर्भुज के तीन अंत:कोण 85°, 95° व 70° हैं। चौथे शीर्ष पर बाह्य कोण (जो चौथे अंत:कोण के साथ रैखिक युग्म बनाता है) का माप है

• A. 70°
• B. 110°
• C. 180°
• D. 290°

Q10. दो सर्वांगसम समबाहु त्रिभुज (प्रत्येक की भुजा 6 cm) इस प्रकार रखे जाते हैं कि एक उभयनिष्ठ भुजा पूर्णतः मिल जाए और दोनों त्रिभुज उसके विपरीत ओर पड़े हों। बनी आकृति है

• A. वर्ग
• B. ऐसा समलंब जो समांतर चतुर्भुज नहीं है
• C. 6 cm × 12 cm का आयत
• D. समचतुर्भुज जिसकी प्रत्येक भुजा 6 cm है

Q11. आयत ABCD में विकर्ण AC व BD, O पर मिलते हैं। 'AC और BD, O पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं' का अर्थ है

• A. AC, BD से दुगुनी लंबाई का है
• B. OA = OC तथा OB = OD
• C. AC, BD पर लंबवत है
• D. OA = OB = OC = OD

Q12. समांतर चतुर्भुज ABCD में ∠A + ∠B = 180° सिद्ध करने वाले प्रमाण में भुजा AB को माना जाता है

• A. समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण
• B. समांतर रेखाओं AD व BC को काटती हुई एक तिर्यक रेखा
• C. आकृति का सममिति-अक्ष
• D. अंतःस्थ वृत्त की त्रिज्या

Q13. चतुर्भुज ABCD में भुजाओं AB तथा CD के जोड़े को कहते हैं

• A. आसन्न भुजाएँ
• B. सम्मुख भुजाएँ
• C. विकर्ण भुजाएँ
• D. समान भुजाएँ

Q14. सामग्री में किसी समलंब को 'समद्विबाहु' (isosceles) कब कहता है?

• A. जब दोनों असमांतर भुजाएँ बराबर हों
• B. जब दोनों समांतर भुजाएँ बराबर हों
• C. जब चारों भुजाएँ बराबर हों
• D. जब विकर्ण लंबवत हों

Q15. अध्याय की शब्दावलीमें 'अनुमान' (conjecture) का सबसे सही वर्णन है

• A. ऐसा कथन जो निगमन द्वारा पहले ही सिद्ध किया जा चुका है
• B. किसी विशेष चतुर्भुज के लिए NCERT द्वारा तय की गई परिभाषा
• C. ऐसा कथन जो उदाहरणों से सत्य प्रतीत होता है, परंतु अभी सिद्ध नहीं किया गया
• D. ऐसा कथन जो किसी प्रति-उदाहरण से ग़लत साबित हो चुका है

Q16. दो अध्यापिकाएँ कक्षा 8 के विद्यार्थियों को यह विश्वास दिलाना चाहती हैं कि हर आयत के विकर्ण समान होते हैं। अध्यापिका A विद्यार्थियों से दस अलग-अलग आयतों के विकर्ण नपवाकर तालिका बनवाती हैं; अध्यापिका B विद्यार्थियों से सामग्री के निगमन 1 का चरण-दर-चरण अनुसरण कराती हैं। सामग्री की मंशा से सबसे अधिक मेल कौन-सा विकल्प खाता है?

• A. केवल अध्यापिका A — सार्वत्रिक दावे के लिए माप पर्याप्त है
• B. केवल अध्यापिका B — हर आयत के लिए परिणाम केवल निगमन ही सिद्ध करता है
• C. पहले अध्यापिका A अनुमान बनवाएँ, फिर अध्यापिका B हर आयत के लिए सिद्ध कराएँ
• D. किसी की भी आवश्यकता नहीं, क्योंकि यह परिणाम परिभाषा के रूप में दिया गया है

Q17. सामग्री में क्यों कहता है कि हर आयत समांतर चतुर्भुज भी है?

• A. क्योंकि आयत के विकर्ण समान होते हैं
• B. क्योंकि आयत की सम्मुख भुजाएँ समांतर होती हैं, और यही समांतर चतुर्भुज की शर्त है
• C. क्योंकि हर आयत में चार समकोण होते हैं
• D. क्योंकि आयत के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

Q18. पतंग ABCD में AB = AD तथा CB = CD हैं (अतः AC सममिति-रेखा है, जैसा सामग्री में है)। यदि ∠BAC = 28° हो, तो ∠BAD है

• A. 14°
• B. 28°
• C. 56°
• D. 62°

Q19. सामग्री की शुरुआत 'बढ़ई की समस्या' से इसलिए होती है ताकि दिखाया जा सके कि

• A. ज्यामिति के परिणामों का दैनिक जीवन में कोई उपयोग नहीं
• B. बढ़ई बिना मापे ही काम कर लेते हैं
• C. रोज़ का कारीगरी प्रश्न — कि कोई फ़्रेम सचमुच आयताकार है या नहीं — एक निगमनात्मक ज्यामितीय गुण पर टिका है
• D. आयत केवल रूलर से ही बनाए जा सकते हैं, धागे से कभी नहीं

Q20. 'चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है' सिद्ध करते समय सामग्री किस पूर्व-ज्ञात परिणाम को मानकर प्रयोग करता है?

• A. किसी बहुभुज का बाह्य कोण-योग 360° होता है
• B. आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं
• C. किसी भी त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है
• D. चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

Q21. एक अध्यापिका हर बच्चे को दो सर्वांगसम समद्विबाहु त्रिभुज (भुजाएँ 5 cm, 5 cm, 7 cm) देती हैं। जब एक त्रिभुज की 7 cm वाली आधार-भुजा दूसरे की 7 cm आधार-भुजा से पूरी मिल जाए और दोनों त्रिभुज विपरीत ओर हों, तो बनी चतुर्भुज की भुजाएँ हैं

• A. 5 cm, 5 cm, 5 cm, 5 cm — अतः समचतुर्भुज है
• B. 5 cm, 5 cm, 7 cm, 7 cm — अतः दो जोड़ी आसन्न समान भुजाओं वाला पतंग-सदृश है
• C. 7 cm, 5 cm, 7 cm, 5 cm — अतः समांतर चतुर्भुज है
• D. 5 cm, 7 cm, 5 cm, 7 cm — अतः आयत है

Q22. सारा एक आयत ABCD बनाती है जिसमें AB = 6 cm तथा BC = 6 cm। सामग्री के आधार पर कौन-सा निष्कर्ष निकलता है?

• A. ABCD केवल आयत है, वर्ग नहीं, क्योंकि कोण अलग से जाँचने पड़ेंगे
• B. ABCD वर्ग है क्योंकि उसके कोण 90° हैं (वह आयत है) तथा सभी भुजाएँ बराबर हैं (AB = BC तथा आयत की सम्मुख भुजाएँ भी समान)
• C. ABCD जैसी आकृति बन ही नहीं सकती, क्योंकि आयत की आसन्न भुजाएँ असमान होनी ही चाहिए
• D. ABCD समचतुर्भुज है, वर्ग नहीं

Q23. अध्याय की 'अध्यापक के लिए टिप्पणी'के आधार पर, अध्याय जिस निगमनात्मक आदत को बनाना चाहता है उसके लिए सबसे उपयुक्त कक्षा-कक्ष का प्रश्न कौन-सा है?

• A. दसों निगमन रटाकर शब्दशः बोलवाना
• B. जब भी कोई विद्यार्थी गुणधर्म बताए, पूछना — 'क्या तुम इसे किसी पूर्व-ज्ञात परिणाम से न्यायोचित ठहरा सकते हो?'
• C. हर ज्यामितीय दावे से पहले नई माप पर ज़ोर देना
• D. सभी प्रमाणों के स्थान पर सुंदर खींची हुई आकृतियाँ रखना

Q24. सामग्री के रचना-निर्देश का अनुसरण करते हुए एक विद्यार्थी समांतर चतुर्भुज ABCD बनाता है जिसमें AB = 5 cm, AD = 4 cm तथा ∠A = 30°। निगमन 7 से भुजा CD की लंबाई है

• A. 3 cm
• B. 4 cm
• C. 5 cm
• D. 9 cm

Q25. एक अध्यापिका विद्यार्थियों को जियो-बोर्ड और रबर-बैंड देती हैं। विद्यार्थी रबर-बैंडों को विकर्णों की तरह इस प्रकार खींचते हैं कि विकर्ण समान लंबाई के हों, अपने मध्यबिंदु पर मिलें तथा लंबवत भी हों। यह व्यावहारिक गतिविधि विद्यार्थियों को किस निष्कर्ष पर ले जाने के लिए सबसे उपयुक्त है?

• A. आकृति कोई भी समांतर चतुर्भुज होगी
• B. आकृति वर्ग ही होगी ( निगमन 5)
• C. आकृति पतंग होगी
• D. आकृति समद्विबाहु समलंब होगी

Q26. एक अध्यापिका कक्षा 8 के विद्यार्थियों को सही क्रम में इस परिणाम तक ले जाना चाहती हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं। सामग्री की रूपरेखा से सबसे अधिक मेल खाने वाला क्रम कौन-सा है?

• A. समचतुर्भुज परिभाषित करें → अनेक समचतुर्भुजों की माप करें → लंबवत विकर्ण घोषित कर दें
• B. समचतुर्भुज परिभाषित करें → दिखाएँ कि वह समांतर चतुर्भुज है → विकर्णों से बने सर्वांगसम त्रिभुजों के द्वारा सिद्ध करें कि विकर्ण 90° पर मिलते हैं (निगमन 10)
• C. समचतुर्भुज परिभाषित करें → मान लें कि विकर्ण लंबवत हैं → इससे निकालें कि चारों भुजाएँ बराबर हैं
• D. वर्ग परिभाषित करें → वर्ग को ही समचतुर्भुज कहें → गुण केवल वर्ग के लिए माने

Q27. चतुर्भुज PQRS में ∠P = 100°, ∠Q = 80°, ∠R = 100° तथा ∠S = 80°। अध्याय के परिणामों से PQRS का सर्वोत्तम वर्णन है

• A. केवल एक साधारण चतुर्भुज — कोई विशेष नाम नहीं
• B. समांतर चतुर्भुज, क्योंकि सम्मुख कोण समान हैं तथा आसन्न कोणों का योग 180° है
• C. आयत, क्योंकि कोणों का योग 360° है
• D. समचतुर्भुज, क्योंकि कोणों का योग 360° है

Q28. सामग्री में चतुर्भुजों का परिचय रोज़मर्रा की जानी-पहचानी आकृतियों से कराता है। सामग्री कहती है कि चार भुजाओं वाली दो ऐसी परिचित आकृतियाँ जिनसे विद्यार्थी पहले मिल चुके हैं, वे हैं

• A. त्रिभुज तथा पंचभुज
• B. आयत तथा वर्ग
• C. वृत्त तथा अंडाकार
• D. षट्भुज तथा अष्टभुज

Q29. तीन आकृतियाँ दी गई हैं: I — समांतर चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ 6 cm, 4 cm, 6 cm, 4 cm हैं; II — ऐसा चतुर्भुज जिसमें ठीक एक जोड़ी समांतर भुजाएँ 5 cm व 8 cm तथा असमांतर भुजाएँ 3 cm व 4 cm हैं; III — पतंग जिसकी भुजाएँ 5 cm, 5 cm, 7 cm, 7 cm हैं। सामग्री की परिभाषा के अनुसार इनमें से समलंब कौन-कौन है/हैं?

• A. केवल II
• B. केवल I तथा II
• C. केवल II तथा III
• D. तीनों

Q30. चतुर्भुज KITE की चारों भुजाएँ 5 cm की हैं, चारों कोण 90° हैं तथा दोनों विकर्ण 5√2 cm के हैं। सामग्री के वेन-पदानुक्रम से KITE का सबसे सटीक नाम कौन-सा है?

• A. समलंब
• B. समांतर चतुर्भुज
• C. आयत
• D. वर्ग