संख्याओं की कहानी — कठिन

Q1. अध्यापक बोर्ड पर 232 को CCXXXII और 413 को CCCCXIII लिखता है (घटाव रूप का प्रयोग नहीं)। एक छात्र समान सांकेतिक संख्याओं को मिलाकर और फिर समूहन (5 C = D, 4 X = XL) करके जोड़ता है। योग का रोमन संख्यांक है

• A. DCXLV
• B. DCCXV
• C. MCXLV
• D. CDXLV

Q2. सामग्री की निर्मित आधार-5 पद्धति में, जिसकी सांकेतिक संख्याएँ 1, 5, 25, 125, ... हैं, संख्या 143 कैसे लिखी जाएगी?

• A. दो 125-प्रतीक और एक 5-प्रतीक
• B. एक 125-प्रतीक, तीन 5-प्रतीक, तीन 1-प्रतीक
• C. पाँच 25-प्रतीक और एक 1-प्रतीक
• D. एक 125-प्रतीक, एक 25-प्रतीक, तीन 1-प्रतीक

Q3. कथन A: किसी भी आधार-n पद्धति में, k-वीं सांकेतिक संख्या n की (k − 1) घात के बराबर होती है। कथन B: इसी कारण आधार-10 की सांकेतिक संख्याएँ 1, 10, 100, 1000 दस की घातें हैं। सही क्या है?

• A. केवल A सत्य है
• B. केवल B सत्य है
• C. A व B दोनों सत्य हैं, और B, A से निकलता है
• D. A व B दोनों असत्य हैं

Q4. सामग्री बताती है कि मिस्र शैली की तुलना में आधार-n पद्धति का एक बड़ा लाभ है — किन्हीं दो सांकेतिक संख्याओं का गुणनफल भी सांकेतिक संख्या ही होता है। इसका गहरा कारण है

• A. क्योंकि सांकेतिक संख्याएँ केवल एक-एक अंक में लिखी जाती हैं
• B. क्योंकि n^a × n^b = n^(a+b), और a + b भी अऋणात्मक पूर्णांक होता है
• C. क्योंकि पद्धति में 0 का स्थानपूरक प्रयोग होता है
• D. क्योंकि n हमेशा 10 लिया जाता है

Q5. सामग्री में मायन सांकेतिक संख्याएँ देता है — 1, 20, 360, 7200, 144000। एक छात्र दावा करता है कि मायन पद्धति इसलिए पूर्ण आधार-20 (pure base-20) है। सही उत्तर है

• A. हाँ, क्योंकि हर सांकेतिक संख्या 20 का गुणज है
• B. नहीं, क्योंकि पूर्ण आधार-20 में 20 के बाद अगली सांकेतिक संख्या 400 होनी चाहिए, 360 नहीं
• C. नहीं, क्योंकि मायन के पास 0 का प्रतीक नहीं था
• D. हाँ, क्योंकि मायन सांकेतिक संख्याएँ 1, 20, 400, 8000 हैं

Q6. कथन (A): बाद के मेसोपोटामियाई लोगों ने सेक्साजेसिमल संख्या के बीच के खाली स्थान को चिह्नित करने हेतु एक विशेष कील-प्रतीक लाया। कारण (R): इस प्रतीक के बिना केवल लेख से '2' (दो इकाई) और '120' (दो 60 व शून्य इकाई) में भेद नहीं किया जा सकता था।

• A. A व R दोनों सत्य हैं, और R, A की सही व्याख्या है।
• B. A व R दोनों सत्य हैं, पर R, A की सही व्याख्या नहीं है।
• C. A सत्य है, R असत्य।
• D. A असत्य है, R सत्य।

Q7. सामग्री में चीनी रॉड संख्यांक (तीसरी शताब्दी सामान्य संवत्) को आधार-10 पद्धति बताता है, जो दो रॉड-दिशाओं — ज़ोंग (Zong, ऊर्ध्वाधर) व हेंग (Heng, क्षैतिज) — का स्थान-दर-स्थान बारी-बारी से प्रयोग करती है। ज़ोंग व हेंग बदलने का मुख्य उद्देश्य था

• A. संख्या के सम-विषम होने को दिखाना
• B. जब 0 का प्रतीक न हो, तब दृश्य रूप से आसन्न स्थानीय मानों को अलग करना
• C. अंकों के जोड़ व गुणन में अंतर दिखाना
• D. बेबीलोनी पद्धति की तरह समय की इकाई दर्शाना

Q8. हिंदू संख्या पद्धति एक अस्पष्टता-रहित (unambiguous) स्थानीय पद्धति है। कौन-सी जोड़ी विशेषताएँ मिलकर इसका कारण हैं?

• A. अंग्रेज़ी वर्णों का उपयोग व असीम नए प्रतीक
• B. 0 अंक का स्थानपूरक के रूप में उपयोग और स्थानीय मानों के लिए निश्चित आधार 10
• C. IV = 4 व IX = 9 जैसे घटाव शॉर्टकट
• D. मायन की तरह बिंदु, छड़ व शंख का उपयोग

Q9. संख्या पद्धति में भारतीय योगदान के बारे में कथन देखिए — I. बख्शाली पांडुलिपि (लगभग तीसरी शताब्दी सामान्य संवत्) में सबसे प्राचीन लिखित 0 (बिंदु के रूप में) है। II. आर्यभट का आर्यभटीय (499 सामान्य संवत्) दशमलव स्थानीय-मान पद्धति से विस्तृत गणनाएँ करता है। III. ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुट-सिद्धांत (628 सामान्य संवत्) 0 को संख्या के रूप में संहिताबद्ध करता है, जिस पर अंकगणितीय संक्रियाएँ की जा सकती हैं। सही कथन हैं

• A. केवल I व II
• B. केवल II व III
• C. केवल I व III
• D. I, II व III

Q10. भारतीय अंकों के प्रसार में विद्वानों की भूमिकाओं का मिलान कीजिए — (1) अल-ख्वारिज्मी, लगभग 825 सामान्य संवत्; (2) अल-किंदी, लगभग 830 सामान्य संवत्; (3) फिबोनाची, लगभग 1200 सामान्य संवत्। भूमिकाएँ — (क) अरब जगत् में 'हिंदू अंकों से गणना पर' लिखा; (ख) यूरोप में हिंदू अंक लाए; (ग) अरब जगत् में 'हिंदू अंकों के प्रयोग पर' लिखा।

• A. 1-क, 2-ग, 3-ख
• B. 1-ग, 2-क, 3-ख
• C. 1-ख, 2-क, 3-ग
• D. 1-क, 2-ख, 3-ग

Q11. एक कक्षा 8 का छात्र लिखता है — '0 कुछ नहीं है, अतः 205 व 25 का मतलब एक ही है — दोनों में 2 सैकड़े व 5 हैं।' अध्याय के आधार पर अध्यापक की सर्वोत्तम प्रतिक्रिया है

• A. छात्र को बताए कि 0 कुछ नहीं है और 205 = 25 स्वीकार्य संक्षिप्त रूप है
• B. दिखाए कि दहाई के स्थान का 0 कुछ नहीं, बल्कि स्थानपूरक है; 205 में यह 2 को 'दो सैकड़े' बनाता है, जबकि 25 में 2 का अर्थ 'दो दहाई' है
• C. छात्र से कहे कि वह 205 के लिए रोमन रूप CCV रटे
• D. छात्र से कहे कि वह 0 हटा दे, क्योंकि मेसोपोटामियाई इसे खाली छोड़ते थे

Q12. एक कक्षा-परीक्षा में चार छात्र 40 के लिए रोमन संख्यांक लिखते हैं — राहुल — XL, सीता — LX, इमरान — XXXX, मीरा — XC। कौन सही है?

• A. केवल राहुल
• B. केवल सीता
• C. राहुल व इमरान दोनों
• D. राहुल व मीरा दोनों

Q13. प्रिया चाहती है कि उसके कक्षा 5 के बच्चे यह समझें कि हमें 0 अंक की क्यों ज़रूरत है। अध्याय के अनुसार सबसे प्रभावी पहली गतिविधि है

• A. I से M तक रोमन सांकेतिक संख्याओं के मान रटाना
• B. बच्चों से 2, 120 व 7200 को केवल कील-आकार चिह्नों से, बिना 0 के, लिखवाना और देखना कि कब लिखाई एक-सी दिखती है
• C. हिंदू अंकों के 1 से 100 तक के मानों को मिस्र प्रतीकों में बदलवाना
• D. एक, दश, शत, सहस्र — यजुर्वेद संहिता के नाम क्रम से सुनाना

Q14. एक अध्यापक कक्षा 8 के छात्रों से कहता है कि वे नए प्रतीकों — @ = 1, # = 4, $ = 16 — से अपनी आधार-4 पद्धति बनाएँ। सामग्री के आधार-n नियम से 27 इस पद्धति में कैसे लिखी जाएगी?

• A. $ फिर ## फिर @@@
• B. ## फिर $ फिर @
• C. $$ फिर @@@
• D. ### फिर @@@

Q15. सामग्री के 1 से 39 तक के रोमन योग-नियम (पहले 10 के समूह, फिर 5, फिर 1 — बड़ी सांकेतिक संख्या पहले) से 38 का सही रोमन संख्यांक है

• A. XXXVIII
• B. XXXIIX
• C. VIIIXXX
• D. IIXL