संख्याओं की कहानी — निपुणता

Q1. पाषाण-युग के मनुष्यों को गिनती की वास्तविक आवश्यकता किन रोज़मर्रा कार्यों के लिए सबसे पहले पड़ी?

• A. अपनी कविताएँ व गीत लिखने के लिए
• B. ज्यामिति में कोण मापने के लिए
• C. पशुधन, अनुष्ठान-दिवस व व्यापार की वस्तुएँ गिनने के लिए
• D. चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए

Q2. सामग्री में पापुआ न्यू गिनी के एक समुदाय का वर्णन करता है, जो उँगलियों, कलाई, कोहनी, कंधे आदि शरीर के अंगों पर एक निश्चित क्रम में इशारा करके गिनता है। शरीर-अंग विधि सबसे अच्छी तरह से समझी जाती है

• A. आधार-10 स्थानीय-मान पद्धति के रूप में
• B. रोमन IV व IX जैसे घटाव शॉर्टकट के रूप में
• C. बिना प्रतीक के 0 लिखने के तरीके के रूप में
• D. गिनी जाने वाली वस्तुओं के लिए एकैकी प्रतिचित्रण की तरह प्रयुक्त सन्दर्भ-बिंदुओं के मानक क्रम के रूप में

Q3. सामग्री में बकैरी (दक्षिण अमेरिका) नाम देता है — 1 = 'टोकाले' व 2 = 'अहागे'। गुमुलगल जैसे ही '2-2 की गिनती' नियम से, बकैरी में 5 का नाम होगा

• A. अहागे-अहागे-टोकाले
• B. टोकाले-टोकाले
• C. अहागे-अहागे-अहागे
• D. टोकाले-अहागे-टोकाले

Q4. सामग्री में I, V, X, L, C, D, M को रोमन पद्धति की 'सांकेतिक संख्याएँ' (landmark numbers) कहता है। सामग्री इस शब्द का प्रयोग किस गुण के कारण करता है?

• A. ये एकमात्र संख्याएँ हैं जिन्हें रोमन पद्धति में जोड़ा जा सकता है
• B. ये प्राचीन रोम में लोगों की गिनती के लिए प्रयोग होती थीं
• C. ये निश्चित सन्दर्भ संख्याएँ हैं, प्रत्येक का अपना प्रतीक है, और अन्य सभी संख्याएँ इन्हें मिलाकर लिखी जाती हैं
• D. ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें आधार-60 में भी लिखा जा सकता है

Q5. सामग्री में मिस्र की सांकेतिक संख्याएँ 10 की घातों के रूप में देता है। सामग्री में दिखाई गई सबसे बड़ी मिस्र सांकेतिक संख्या है

• A. 10^3 (एक हज़ार)
• B. 10^5 (एक लाख)
• C. 10^6 (दस लाख)
• D. 10^7 (एक करोड़)

Q6. कथन I: लगभग 3000 सामान्य संवत् पूर्व की मिस्र लिखित पद्धति आधार-10 पद्धति है। कथन II: आधार-10 पद्धति को दशमलव पद्धति भी कहा जाता है। कथन III: अतः मिस्र की लिखित पद्धति दशमलव पद्धति है। सही क्या है?

• A. केवल I व II सत्य; III नहीं निकलता
• B. केवल II सत्य; I असत्य
• C. केवल III सत्य; I व II असत्य
• D. तीनों सत्य व III, I व II से तार्किक रूप से निकलता है

Q7. मेसोपोटामियाई सेक्साजेसिमल पद्धति एक स्थानीय (या स्थानीय-मान) संख्या पद्धति है। किसी भी स्थानीय पद्धति की मूल विशेषता क्या है?

• A. किसी अंक का मान उस स्थान पर निर्भर करता है जहाँ वह लिखित संख्या में स्थित है
• B. इसमें सांकेतिक प्रतीकों की पुनरावृत्ति होती है, बिना निश्चित स्थानीय मान के
• C. इसमें ठीक 10 अंक चाहिए और 0 नहीं चाहिए
• D. इसमें संख्याएँ केवल मिलान प्रतीकों से लिखी जाती हैं

Q8. सामग्री में चीनी रॉड-संख्यांक पद्धति को लगभग किस काल में रखता है और उसका आधार क्या बताता है?

• A. तीसरी शताब्दी सामान्य संवत् पूर्व, आधार 12
• B. आठवीं शताब्दी सामान्य संवत्, आधार 60
• C. तीसरी शताब्दी सामान्य संवत्, आधार 10
• D. बारहवीं शताब्दी सामान्य संवत्, आधार 20

Q9. सामग्री में हिंदू संख्या पद्धति का वर्णन करता है। सामग्री इसे कौन-सी विशेषताओं का संयोजन बताता है?

• A. आधार 60, बारह अंक, 0 नहीं
• B. आधार 10, बीस अंक, मिस्र पद्धति की तरह सांकेतिक-योगात्मक
• C. आधार 20, बिंदु-छड़-शंख प्रतीक, लगभग स्थानीय
• D. आधार 10, 0 से 9 तक दस अंक, पूर्ण स्थानीय, 0 को संख्या के रूप में

Q10. सामग्री में उस यूरोपीय विद्वान का नाम बताता है जिसने लगभग 1200 सामान्य संवत् में हिंदू अंक यूरोप पहुँचाने में अग्रणी भूमिका निभाई

• A. आर्यभट
• B. अल-ख्वारिज्मी
• C. फिबोनाची (पीसा का लियोनार्डो)
• D. ब्रह्मगुप्त

Q11. एक कक्षा 8 की अध्यापिका अपने छात्रों के लिए संख्या की ऐतिहासिक यात्रा दोहराना चाहती है। सामग्री के अनुसार सबसे विश्वसनीय पहला मूर्त चरण है

• A. मेज़ पर रखी वस्तुओं के साथ छड़ियों या कंकड़ों का एकैकी प्रतिचित्रण — विधि 1 की तरह
• B. हिंदू स्थानीय-मान पद्धति पर पाठ्यपुस्तक के अभ्यास हल कराना
• C. रोमन सांकेतिक संख्याएँ I, V, X, L, C, D, M रटवाना
• D. 10 की घातों के यजुर्वेद-नाम क्रम से सुनवाना

Q12. कक्षा 8 की दो अध्यापिकाएँ 0 अंक की उपयोगिता समझाने पर चर्चा करती हैं। अध्यापिका A एक कालांश मेसोपोटामियाई खाली-स्थान भ्रम (जैसे 2 बनाम 120) पर देती हैं, फिर 0 लाती हैं। अध्यापिका B सीधे स्थानीय-मान नियम बताती हैं और 0 को स्थानपूरक के रूप में रटवाती हैं। अध्याय के अनुसार सर्वोत्तम मूल्यांकन है

• A. अध्यापिका B बेहतर हैं क्योंकि सीधे बताना ऐतिहासिक चक्कर से तेज़ है।
• B. दोनों समान प्रभावी हैं; शिक्षाशास्त्र अभिप्रेरणा पर निर्भर नहीं करता।
• C. अध्यापिका A बेहतर हैं क्योंकि अध्याय बताता है — खाली-स्थान भ्रम पहले अनुभव करने से 0 की आवश्यकता स्वयं स्पष्ट व वैचारिक रूप से स्थायी हो जाती है।
• D. कोई सही नहीं; 0 केवल कक्षा 11 में पढ़ाया जाना चाहिए।

Q13. सामग्री में 11वीं शताब्दी के अबेकस का वर्णन करता है, जिसमें 10 की प्रत्येक घात के लिए एक रेखा होती है और रेखाओं पर मनके रखे जाते हैं। सामग्री के अनुसार अबेकस का शिक्षाशास्त्रीय महत्व यह है कि

• A. वह 0 अंक को पूरी तरह से बदल देता है
• B. वह केवल आधार-60 में गिनता है
• C. वह दशमलव संख्याओं को रोमन संख्यांकों में बदलता है
• D. वह दशमलव पद्धति की स्थानीय-मान संरचना को भौतिक रूप से दिखाता है — इकाई, दहाई, सैकड़ा आदि अलग-अलग रेखाओं पर

Q14. सामग्री बताती है कि आज हम जिन अंकों 0–9 का प्रयोग करते हैं, उन्हें कई ऐतिहासिक नामों से जाना जाता है। सामग्री किन तीन नामों के समूह को इन्हीं अंकों के लिए सूचीबद्ध करता है?

• A. हिंदू संख्यांक, भारतीय संख्यांक, अरबी संख्यांक
• B. रोमन संख्यांक, ग्रीक संख्यांक, लैटिन संख्यांक
• C. दशमलव संख्यांक, सेक्साजेसिमल संख्यांक, विगेसिमल संख्यांक
• D. ब्राह्मी संख्यांक, यजुर्वेद संख्यांक, मायन संख्यांक

Q15. एक नैदानिक परीक्षण में कक्षा 6 का छात्र '305' के बजाय '3 0 5' (3 व 5 के बीच स्पष्ट खाली स्थान) लिखता है और दोनों को एक-सा पढ़ता है। अध्याय के आधार पर अध्यापक मूल त्रुटि किसमें पहचानेगा?

• A. गणित से असंबद्ध वर्तनी त्रुटि
• B. रोमन व हिंदू संख्यांकों का भ्रम
• C. मेसोपोटामियाई खाली-स्थान भ्रम की पुनरावृत्ति — छात्र खाली स्थान व 0 को एक मानता है, अतः स्थानीय मान बिखर जाता है
• D. अबेकस के प्रयोग की त्रुटि

Q16. सामग्री स्वीकार करती है कि छड़ी विधि (एक गाय—एक छड़ी) सिद्धांततः असीम है — किसी भी आकार के झुंड को गिन सकती है। फिर भी सामग्री इसे बड़ी गणना के लिए असुविधाजनक कहता है। मुख्य कारण है

• A. छड़ियों को सही लंबाई में नहीं काटा जा सकता
• B. रोमन संख्यांकों के विपरीत छड़ियों का कोई निश्चित मान नहीं होता
• C. छड़ियाँ केवल सर्दियों में उपलब्ध होती हैं
• D. बहुत बड़े झुंड के लिए छड़ियों का गट्ठर भारी हो जाता है, रखना व जल्दी मिलाना कठिन हो जाता है

Q17. सामग्री में संख्या पद्धति को गिनने के लिए प्रयुक्त सन्दर्भ-प्रतीकों (या ध्वनियों या चिह्नों) के मानक क्रम के रूप में परिभाषित करता है। इस मानक क्रम की मुख्य विशेषता क्या है?

• A. इसके प्रतीक एक निश्चित क्रम में होते हैं, जो पूरे समुदाय को ज्ञात होता है, अतः दो लोग सदा एक ही ढंग से गिनते हैं
• B. इसके प्रतीक हर दिन एक समुदाय से दूसरे में बदलते हैं
• C. इसमें ठीक 10 प्रतीक होने चाहिए, 0 नहीं
• D. इसके प्रतीक सदा अंग्रेज़ी वर्णमाला के होते हैं

Q18. सामग्री कहती है कि मानव इतिहास में सबसे सामान्य गणन-समूह 2, 5, 10 व 20 रहे हैं। 5, 10 व 20 की लोकप्रियता का सबसे अच्छा शारीरिक कारण क्या है, जबकि 2 सबसे पुराना है?

• A. मनुष्य के दो कान, हर पैर पर पाँच पैर-अंगुलियाँ व दस दाँत होते हैं
• B. मनुष्य की दो आँखें व चार भुजाएँ होती हैं
• C. मनुष्य के पास हाथों का एक जोड़ा (2), एक हाथ की पाँच अंगुलियाँ (5), दो हाथों की दस अंगुलियाँ (10), और हाथों व पैरों की बीस अंगुलियाँ (20) मिलकर होती हैं
• D. मनुष्य सदा अभाज्य (prime) समूहों को पसंद करता है

Q19. सामग्री में बुशमैन (दक्षिण अफ़्रीका) संख्या-नाम देता है — 1 = 'xa', 2 = 'toa', 3 = 'quo' — और कहता है कि वे भी 2-2 में गिनते हैं। उसी गुमुलगल-शैली नियम से बुशमैन में 6 का स्वाभाविक नाम होगा

• A. xa-xa
• B. toa-toa-toa
• C. quo-quo
• D. xa-toa-quo

Q20. सामग्री के गुमुलगल 2-2 की गिनती पैटर्न में 'उरापोन' = 1 व 'उकासर' = 2 है। एक चरवाहा छह मछलियाँ इस पद्धति से गिनता है। गुमुलगल में 6 का नाम है

• A. उकासर-उकासर
• B. उकासर-उकासर-उकासर
• C. उरापोन-उरापोन-उरापोन
• D. उकासर-उकासर-उरापोन

Q21. सामग्री में निर्मित आधार-5 पद्धति बनाता है, जिसकी सांकेतिक संख्याएँ 1, 5, 25, 125, 625, 3125 हैं। इस पद्धति में 678 कैसे सर्वोत्तम लिखी जाएगी?

• A. एक 625-प्रतीक, दो 25-प्रतीक, तीन 1-प्रतीक
• B. एक 625-प्रतीक, एक 25-प्रतीक, दो 5-प्रतीक, एक 1-प्रतीक
• C. छह 100-प्रतीक, सात 10-प्रतीक, आठ 1-प्रतीक
• D. एक 625-प्रतीक, दो 25-प्रतीक, कोई 5-प्रतीक नहीं, तीन 1-प्रतीक

Q22. सामग्री कहती है कि मेसोपोटामियाई पद्धति केवल दो मूल कील-चिह्न प्रयोग करती थी — 1 के लिए छोटी कील व 10 के लिए बड़ी कील — और इन्हें मिलाकर एक स्थान में 1 से 59 तक लिखती थी। इस नियम से 23 (एक स्थान में) लिखने के लिए चाहिए

• A. दो 10-कील व तीन 1-कील
• B. दो 1-कील व तीन 10-कील
• C. एक 10-कील व तेरह 1-कील
• D. तेईस 10-कील

Q23. सामग्री में मायन सभ्यता को किस क्षेत्र व काल में रखता है?

• A. दक्षिण भारत, 5वीं से 12वीं शताब्दी सामान्य संवत्
• B. मध्य अमेरिका, 3री से 10वीं शताब्दी सामान्य संवत्
• C. उत्तरी अफ़्रीका, 1ली से 5वीं शताब्दी सामान्य संवत्
• D. पश्चिमी यूरोप, 11वीं से 15वीं शताब्दी सामान्य संवत्

Q24. कथन I: चीनी रॉड-संख्यांक पद्धति आधार-10 व स्थानीय थी। कथन II: चीनियों के पास शुरू से ही 0 का अलग प्रतीक था। कथन III: उन्होंने आसन्न स्थानों को दृश्य रूप से अलग रखने के लिए ज़ोंग व हेंग दिशाओं को बारी-बारी से प्रयोग किया। सामग्री के अनुसार सही है

• A. केवल I व II
• B. केवल II व III
• C. केवल I व III
• D. I, II व III सभी

Q25. सामग्री में 9वीं शताब्दी के दो अरब विद्वानों का नाम लेता है जिन्होंने मिलकर हिंदू अंकों को अरब जगत् में पहुँचाया। लगभग 830 सामान्य संवत् में अल-किंदी ने जो ग्रंथ लिखा, उसका अनुवादित शीर्षक है

• A. हिंदू अंकों के प्रयोग पर (On the Use of the Hindu Numerals)
• B. हिंदू अंकों से गणना पर (On Calculation with the Hindu Numerals)
• C. ब्रह्मस्फुट-सिद्धांत
• D. लिबर अबाची (Liber Abaci)

Q26. सामग्री बताती है कि अंक 0–9 को 'हिंदू संख्यांक' क्यों कहा जाता है, जबकि इन्हें हर धर्म के लोग प्रयोग करते हैं। सामग्री के अनुसार यहाँ 'हिंदू' शब्द किसकी ओर संकेत करता है?

• A. एक विशेष धर्म, जिसने अंकों का आविष्कार किया
• B. भारत के लोगों व भूगोल का, जहाँ यह पद्धति विकसित हुई — किसी धर्म का नहीं
• C. एक अरब जनजाति का, जिसने अंक यूरोप से लिए
• D. मंदिर-स्थापत्य पर एक संस्कृत ग्रंथ का

Q27. सामग्री में पियरे-साइमन लाप्लास का उद्धरण देता है, जो भारतीय आविष्कार की प्रशंसा करते हैं — 'जिसमें केवल दस प्रतीकों का उपयोग करके सभी संख्याएँ व्यक्त की जाती हैं।' लाप्लास जिस गहरी अंतर्दृष्टि की प्रशंसा कर रहे हैं वह है

• A. भारत ने अबेकस का आविष्कार किया
• B. केवल दस अंकों के साथ स्थानीय-मान (और 0) मिलाकर कोई भी पूर्ण संख्या लिखी जा सकती है — पद्धति एक साथ मितव्ययी व असीम है
• C. भारतीय गणितज्ञ संस्कृत वर्णों को अंकों के रूप में प्रयोग करते थे
• D. भारत ने यूरोप को रोमन संख्यांक दिए

Q28. एक कक्षा 4 की अध्यापिका चार-रेखा अबेकस (1, 10, 100, 1000 के लिए एक-एक रेखा) से 'तीन सौ सात' लिखना सिखाती है। सामग्री की अबेकस-शिक्षाशास्त्र के अनुसार बच्चे मनके इस तरह रखेंगे

• A. 1000-रेखा पर तीन, 100-रेखा पर शून्य, 10-रेखा पर सात
• B. 100-रेखा पर तीन, 10-रेखा पर कोई नहीं, 1-रेखा पर सात
• C. 100-रेखा पर तीन, 10-रेखा पर सात, 1-रेखा पर शून्य
• D. 100-रेखा पर सात, 10-रेखा पर शून्य, 1-रेखा पर तीन

Q29. अध्यापक P कक्षा 8 में केवल आधुनिक अंक 0–9 व उनकी संक्रियाएँ पढ़ाते हैं, संख्या पद्धतियों का इतिहास छोड़ देते हैं। अध्यापक Q पूरा पढ़ाते हैं — पाषाण-युग की छड़ियाँ, रोमन, आधार-n सांकेतिक संख्याएँ, मेसोपोटामियाई भ्रम, फिर हिंदू स्थानीय-मान। अध्याय की संरचना के आधार पर सर्वोत्तम मूल्यांकन है

• A. P बेहतर हैं, क्योंकि इतिहास समय बर्बाद करता है और अंक तो पहले से ज्ञात हैं
• B. Q बेहतर हैं, क्योंकि प्रत्येक पुरानी पद्धति की कोई विशिष्ट कमज़ोरी (0 का अभाव, हर सांकेतिक संख्या के लिए नया प्रतीक, खाली-स्थान भ्रम) उभरकर सामने आती है, और आधुनिक हिंदू पद्धति मनमाने नियम के बजाय महसूस-किए-गए समाधान के रूप में आती है
• C. दोनों समान प्रभावी हैं; गणित का इतिहास शिक्षाशास्त्र में कोई भूमिका नहीं निभाता
• D. Q बेहतर हैं, क्योंकि CTET निकालने हेतु छात्र को रोमन संख्यांक रटने ज़रूरी हैं

Q30. सामग्री में ब्राह्मी (प्राचीन भारत) से देवनागरी होते हुए आधुनिक वैश्विक 0–9 तक अंकों के आकार के विकास का चार्ट दिखाता है। एक छात्र निष्कर्ष निकालता है — 'चूँकि आकार बदले, अतः हर चरण पर स्वयं पद्धति का पुनः-आविष्कार हुआ।' सामग्री के आधार पर इस निष्कर्ष का सर्वोत्तम मूल्यांकन है

• A. सही — हर नया आकार नई पद्धति को शून्य से बनाने का सूचक है
• B. गलत — विकसित केवल हर अंक का दृश्य आकार हुआ; ब्राह्मी, देवनागरी व आधुनिक अंकों में पीछे की आधार-10 + स्थानीय-मान + 0 वाली पद्धति वही रही
• C. सही — ब्राह्मी आधार-60, देवनागरी आधार-20, आधुनिक आधार-10 थी
• D. गलत — ब्राह्मी में दस अंक थे ही नहीं