तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक कथा — कठिन

Q1. 10 से.मी., 15 से.मी. तथा 30 से.मी. लंबाइयों पर विचार कीजिए। कौन-से कथन सही हैं? I. 10 + 15 < 30, अतः सबसे बड़ी भुजा के लिए असमिका असफल है। II. 10 + 30 > 15 तथा 15 + 30 > 10 सत्य हैं, अतः त्रिभुज संभव है। III. इन तीन लंबाइयों से त्रिभुज नहीं बन सकता। कौन-से सही हैं?

• A. केवल I तथा II
• B. केवल II तथा III
• C. केवल I तथा III
• D. तीनों

Q2. अभिकथन (A): तीन लंबाइयों के लिए त्रिभुज असमिका जाँचने हेतु यह देख लेना पर्याप्त है कि सबसे बड़ी लंबाई अन्य दो के योग से कम है या नहीं। कारण (R): यदि सबसे बड़ी लंबाई अन्य दो के योग से कम है, तो शेष दोनों असमिकाएँ स्वयमेव संतुष्ट हो जाती हैं।

• A. A तथा R दोनों सत्य हैं, तथा R, A की सही व्याख्या है।
• B. A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है।
• C. A सत्य है, R असत्य है।
• D. A असत्य है, R सत्य है।

Q3. रेखाखंड AB की लंबाई 8 से.मी. है। A पर 3 से.मी. त्रिज्या तथा B पर 4 से.मी. त्रिज्या के वृत्त बनाए गए हैं। दोनों वृत्तों की स्थिति तथा त्रिभुज पर उसका अर्थ क्या होगा?

• A. वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद (intersect) करते हैं; 8, 3, 4 भुजाओं वाला त्रिभुज बनेगा।
• B. वृत्त एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं; तीनों लंबाइयों से अपभ्रष्ट त्रिभुज बनता है।
• C. वृत्त एक-दूसरे को नहीं छूते; 8, 3, 4 भुजाओं वाला कोई त्रिभुज नहीं बनेगा।
• D. वृत्त संकेन्द्रीय हैं; त्रिभुज की भुजाएँ 8, 3, 4 से.मी. होंगी।

Q4. कोण योग गुण की सिद्धि में, शीर्ष A से होकर BC के समांतर एक रेखा खींची जाती है। इन कथनों पर विचार कीजिए: I. समांतर रेखा के दोनों ओर A पर बने दो कोण तथा ∠BAC मिलकर एक सरल कोण बनाते हैं। II. A पर बने उन दोनों कोणों में से प्रत्येक त्रिभुज के एक अंतःकोण के बराबर है — तिर्यक रेखा पर एकांतर कोण (alternate angles) से। III. I तथा II से ∠A + ∠B + ∠C = 180° निकलता है। कौन-से सही हैं?

• A. केवल I तथा II
• B. केवल II तथा III
• C. केवल I तथा III
• D. तीनों

Q5. ΔPQR में भुजा QR को S तक बढ़ाया गया है। बाह्य कोण ∠PRS का माप 130° तथा ∠PQR = 70° है। ∠QPR का माप क्या है?

• A. 50°
• B. 60°
• C. 70°
• D. 110°

Q6. एक छात्र को ΔABC की रचना करनी है जिसमें AB = 5 से.मी., AC = 4 से.मी. तथा ∠A = 180° हो। क्या होगा?

• A. एक बड़े क्षेत्रफल का अधिककोण त्रिभुज बनेगा।
• B. A पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज बनेगा।
• C. कोई त्रिभुज नहीं बनेगा — A पर दोनों भुजाएँ एक ही सरल रेखा पर आ जाएँगी।
• D. 4 से.मी. भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनेगा।

Q7. 6 से.मी. लंबी एक भुजा के दोनों सिरों पर 65° तथा 75° के दो कोणों से एक त्रिभुज की रचना करनी है। तीसरा कोण कितना होगा तथा कौन-सा त्रिभुज बनेगा?

• A. 40°, न्यूनकोण त्रिभुज
• B. 40°, समकोण त्रिभुज
• C. 50°, अधिककोण त्रिभुज
• D. 140°, अधिककोण त्रिभुज

Q8. अभिकथन (A): प्रत्येक समबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज भी है। कारण (R): समद्विबाहु (isosceles) त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसकी कम-से-कम दो भुजाएँ बराबर हों।

• A. A तथा R दोनों सत्य हैं, तथा R, A की सही व्याख्या है।
• B. A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है।
• C. A सत्य है, R असत्य है।
• D. A असत्य है, R सत्य है।

Q9. समकोण ΔPQR में समकोण Q पर है। शीर्ष P से भुजा QR पर शीर्षलंब (altitude) निम्न में से कौन-सा है?

• A. स्वयं रेखाखंड PR
• B. स्वयं रेखाखंड PQ
• C. P से QR पर Q तथा R के बीच कहीं मिलने वाला एक नया लंब
• D. R से आगे QR के विस्तार पर P से डाला गया लंब

Q10. इन कथनों पर विचार कीजिए: I. एक त्रिभुज में दो समकोण नहीं हो सकते। II. एक त्रिभुज में दो अधिककोण नहीं हो सकते। III. एक त्रिभुज में एक समकोण तथा एक अधिककोण साथ-साथ हो सकते हैं। कौन-से सही हैं?

• A. केवल I तथा II
• B. केवल II तथा III
• C. केवल I तथा III
• D. तीनों

Q11. तीन भुजाएँ देकर ΔABC की चाप-विधि से रचना करते समय, A तथा B से बने दोनों चाप प्रायः दो बिंदुओं C₁ (AB के ऊपर) तथा C₂ (AB के नीचे) पर प्रतिच्छेद करते हैं। सही निष्कर्ष क्या है?

• A. केवल C₁ से वैध त्रिभुज बनता है; C₂ को छोड़ देना चाहिए।
• B. ΔABC₁ तथा ΔABC₂ सर्वांगसम (congruent) त्रिभुज हैं — AB के परित: दर्पण-प्रतिबिंब।
• C. ΔABC₁ तथा ΔABC₂ की भुजा-लंबाइयाँ भिन्न होती हैं।
• D. तीन भिन्न भुजा-समूहों वाले दो भिन्न त्रिभुज बनाए जा सकते हैं।

Q12. ΔABC में, A से होकर BC के समांतर एक रेखा ℓ खींची गई है। तिर्यक रेखा AB के अनुदिश ∠B = 65° का कोण A पर एकांतर अंतःकोण (alternate interior angle) के रूप में दिखता है। यदि ∠C = 55° हो, तो ∠BAC कितना होगा?

• A. 55°
• B. 60°
• C. 65°
• D. 120°

Q13. ΔABC में भुजा BC को D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि B, C, D संरेखीय हैं। अंतःकोण ∠ACB = 72° है। दो छात्र बाह्य कोण ∠ACD अलग-अलग ढंग से निकालते हैं: रवि: ∠ACD = 180° − 72° = 108°। प्रिया: ∠ACD = 90° − 72° = 18°। कौन सही है, और क्यों?

• A. रवि, क्योंकि ∠ACB तथा ∠ACD, BCD के अनुदिश रैखिक युग्म (linear pair) बनाते हैं।
• B. प्रिया, क्योंकि बाह्य कोण = 90° − अंतःकोण होता है।
• C. दोनों, क्योंकि 108° और 18° दोनों ही बाह्य कोण हैं।
• D. कोई नहीं, क्योंकि बाह्य कोण 72° के बराबर होगा।

Q14. त्रिभुज असमिका के सत्य होने के कारण से जुड़े इन कथनों पर विचार कीजिए: I. तीसरा शीर्ष C, A को केंद्र मानकर b त्रिज्या तथा B को केंद्र मानकर a त्रिज्या वाले दो वृत्तों का प्रतिच्छेद बिंदु है। II. दो वृत्त दो बिंदुओं पर तभी मिलते हैं जब उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग से कम हो। III. अतः ΔABC के अस्तित्व हेतु भुजा c = AB का a + b से कम होना आवश्यक है। कौन-से सही हैं?

• A. केवल I तथा II
• B. केवल II तथा III
• C. केवल I तथा III
• D. तीनों

Q15. अभिकथन (A): अधिककोण त्रिभुज में, किसी न्यूनकोण-शीर्ष से सम्मुख भुजा पर खींचा गया शीर्षलंब त्रिभुज के बाहर, उस भुजा के विस्तार पर पड़ सकता है। कारण (R): किसी शीर्ष से सम्मुख भुजा को धारित रेखा पर खींचे गए लंब का पाद उस भुजा के दोनों सिरों के बीच होना आवश्यक नहीं है।

• A. A तथा R दोनों सत्य हैं, तथा R, A की सही व्याख्या है।
• B. A तथा R दोनों सत्य हैं, परंतु R, A की सही व्याख्या नहीं है।
• C. A सत्य है, R असत्य है।
• D. A असत्य है, R सत्य है।