वर्ग और घन — कठिन

Q1. रानी रत्नामंजुरी की लॉकर पहेली पर दो कथन दिए गए हैं। कथन I: किसी संख्या n के प्रत्येक गुणनखंड d के लिए, उसका साथी n/d भी गुणनखंड होता है। कथन II: किसी संख्या के गुणनखंडों की संख्या तभी विषम होती है जब कोई गुणनखंड स्वयं अपना साथी हो, अर्थात् जब n एक पूर्ण वर्ग हो। निम्न में से कौन-सा सही है?

• A. केवल कथन I सही है।
• B. केवल कथन II सही है।
• C. दोनों कथन सही हैं और II, I की सही व्याख्या है।
• D. दोनों कथन सही हैं, परंतु II, I की सही व्याख्या नहीं है।

Q2. निम्न में से किन संख्याओं के वर्ग का इकाई अंक 1 होगा? I. 161 II. 249 III. 358 IV. 471

• A. केवल I और II
• B. केवल I, II और IV
• C. केवल II और IV
• D. केवल I और IV

Q3. एक विद्यार्थी लिखता है कि 4000 एक पूर्ण वर्ग है क्योंकि 4 पूर्ण वर्ग है। अंतिम शून्यों वाले नियम के अनुसार उसका दावा है

• A. सही, क्योंकि 20 का वर्ग 00 पर समाप्त होता है।
• B. सही, क्योंकि 4000 = 4 × 1000 और दोनों के वर्गमूल हैं।
• C. ग़लत, क्योंकि पूर्ण वर्ग के अंत में शून्यों की संख्या सम होनी चाहिए, परंतु 4000 में तीन शून्य हैं।
• D. ग़लत, क्योंकि 4000 का इकाई अंक 0 है और वर्ग 0 पर समाप्त नहीं हो सकते।

Q4. अभाज्य गुणनखंडन विधि से निम्न में से कौन-सी संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है?

• A. 324
• B. 441
• C. 156
• D. 576

Q5. वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 9408 को गुणा करने पर गुणनफल एक पूर्ण वर्ग बन जाए। (संकेत: 9408 = 2⁶ × 3 × 7²)

• A. 2
• B. 3
• C. 6
• D. 7

Q6. ठीक-ठीक हल किए बिना, 1936 का वर्गमूल किन दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के बीच है?

• A. 40 और 41
• B. 43 और 44
• C. 44 और 45
• D. 45 और 46

Q7. एक वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल 125 वर्ग सेमी है। उसकी भुजा की लंबाई से अधिक न हो सकने वाला सबसे बड़ा पूर्णांक मान कितने सेमी होगा?

• A. 10 सेमी
• B. 11 सेमी
• C. 12 सेमी
• D. 13 सेमी

Q8. पूर्ण घनों के अंत में आने वाले शून्यों के बारे में निम्न में से कौन-सा कथन सही है?

• A. पूर्ण घन के अंत में ठीक एक शून्य हो सकता है।
• B. पूर्ण घन के अंत में ठीक दो शून्य हो सकते हैं।
• C. पूर्ण घन के अंत में ठीक तीन शून्य हो सकते हैं।
• D. पूर्ण घन के अंत में कोई शून्य नहीं हो सकता।

Q9. घन ऋणात्मक पूर्णांकों तक भी बढ़ता है। (−6)³ का मान है

• A. −216
• B. −18
• C. 36
• D. 216

Q10. अभाज्य गुणनखंड त्रिक विधि से 3375 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

• A. 5
• B. 15
• C. 25
• D. 45

Q11. वह सबसे छोटी प्राकृत संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1323 को गुणा करने पर गुणनफल पूर्ण घन बने। (संकेत: 1323 = 3³ × 7²)

• A. 3
• B. 7
• C. 9
• D. 21

Q12. प्रतिरूप — 1 = 1³; 3 + 5 = 8 = 2³; 7 + 9 + 11 = 27 = 3³; 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³। 6³ को क्रमागत विषम संख्याओं के योग के रूप में लिखने पर पहली विषम संख्या होगी

• A. 27
• B. 29
• C. 31
• D. 33

Q13. निम्न में से कौन-सी संख्या पूर्ण घन नहीं है?

• A. 216
• B. 343
• C. 500
• D. 729

Q14. रामपुर का एक कक्षा 8 का विद्यार्थी अपनी कॉपी में 12² = 24 लिखता है। शिक्षक द्वारा उसकी त्रुटि की सर्वोत्तम पहचान यह होगी कि विद्यार्थी

• A. वर्ग करने को 'स्वयं से गुणा' की जगह '2 से गुणा' मान रहा है
• B. वर्ग के परिमाप व क्षेत्रफल को गड्डमड्ड कर रहा है
• C. वर्गों के इकाई-अंक प्रतिरूप की अनदेखी कर रहा है
• D. वर्ग के बदले nवीं विषम संख्या का सूत्र लगा रहा है

Q15. एक कक्षा 8 की शिक्षिका चाहती हैं कि विद्यार्थी सूत्र बताए बिना स्वयं खोज लें कि 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²। इस खोज के लिए शिक्षाशास्त्रीय दृष्टि से सबसे समृद्ध कक्षा-कार्य है

• A. विद्यार्थियों से सूत्र याद कराकर पाँच बार लिखवाना
• B. हर जोड़ी को 8 × 8 बिंदुओं की जाली देना और उन्हें एक कोने के चारों ओर विषम बिंदुओं की L-आकार 'नोमॉन' परतें बनाने देना
• C. कैलकुलेटर से 1 + 3 + 5 + … + 19 जुड़वाकर 100 से मिलवाना
• D. एक PowerPoint स्लाइड पर प्रमाण दिखाकर बाद में प्रश्न पूछना