पूर्णांक, भिन्न और दशमलव (P2)

भिन्न — प्रकार, तुलना और संक्रियाएँ

भिन्न p/q एक पूर्ण के भाग को दर्शाती है जहाँ p = अंश और q = हर। उच्च प्राथमिक स्तर पर तीनों प्रकार: उचित भिन्न (p < q), अनुचित भिन्न (p ≥ q), मिश्रित संख्या।

रूपांतरण: मिश्रित a(b/c) = (ac+b)/c। संक्रियाओं से पहले अनुचित भिन्न में बदलें।

भिन्नों की तुलना: सबसे विश्वसनीय: सभी का LCM हर बनाएँ, फिर अंशों की तुलना। दो के लिए: ps > qr हो तो p/q > r/s।

कई भिन्नों की तुलना — उदाहरण: 6/7, 2(3/8), 3/14, 2(11/14)। मिश्रित को बदलें: 19/8, 39/14। LCM = 56: मान 48, 133, 12, 156। सबसे बड़ी: 39/14; सबसे छोटी: 3/14। योग = 42/14 = 3।

भिन्नों पर संक्रियाएँ:

• जोड़/घटाव: समान हर आवश्यक; फिर केवल अंश जोड़ें/घटाएँ।
• गुणा: अंश × अंश, हर × हर। पहले सरल करें।
• भाग: भाजक के व्युत्क्रम से गुणा।

दशमलव और भिन्न का संबंध: प्रत्येक सांत दशमलव परिमेय है। 0.75 = 3/4। आवर्ती दशमलव भी परिमेय: 0.333… = 1/3। अनावर्ती अनंत दशमलव अपरिमेय।

प्रतिशत — रूपांतरण और अनुप्रयोग

प्रतिशत हर = 100 वाली भिन्न है। 'प्रति शत' अर्थात 'प्रति सौ।'

प्रमुख रूपांतरण:

• भिन्न → %: 100 से गुणा। (3/4 × 100 = 75%)
• % → भिन्न: 100 से भाग। (75% = 3/4)
• % → दशमलव: 100 से भाग। (75% = 0.75)
• दशमलव → %: 100 से गुणा।

याद करने योग्य मानक मान: 1/8=12.5%, 1/4=25%, 1/3≈33.33%, 1/2=50%, 3/4=75%।

किसी राशि का प्रतिशत: x% का N = (x/100)×N।

व्युत्क्रम प्रतिशत: x% वृद्धि के बाद N → मूल = N×100/(100+x)। x% कमी के बाद N → मूल = N×100/(100−x)।

प्रतिशत वृद्धि/कमी: % परिवर्तन = (परिवर्तन/मूल)×100। नोट: 25% वृद्धि फिर 20% कमी मूल पर नहीं लौटाती — आधार बदलता है।

लाभ और हानि — सूत्र और बाज़ार मूल्य

लाभ-हानि प्रतिशत के वास्तविक जीवन अनुप्रयोग हैं और CTET पेपर 2 में खूब परीक्षित हैं।

मूल सूत्र:

• लाभ = विक्रय मूल्य − क्रय मूल्य (जब SP > CP)
• हानि = CP − SP (जब CP > SP)
• लाभ% = (लाभ/CP)×100; हानि% = (हानि/CP)×100
• SP = CP×(100+लाभ%)/100; SP = CP×(100−हानि%)/100

अंकित मूल्य (MP) और छूट: MP = छूट से पहले मूल्य। छूट = MP−SP। छूट% = (छूट/MP)×100।

छूट के बावजूद लाभ: उदाहरण: 12 पंखे ₹24000 में खरीदे (CP = ₹2000)। 25% अधिक अंकित: MP = ₹2500। 12% छूट: SP = ₹2200। लाभ प्रति पंखा = ₹200। 12 पंखों पर कुल लाभ = ₹2400।

महत्वपूर्ण जाल: लाभ% और हानि% सदा CP पर, SP पर नहीं।

साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज

ब्याज गणना लगभग हर CTET पेपर 2 में आती है।

साधारण ब्याज (SI):
SI = P×R×T/100
मिश्रधन = P+SI = P(1+RT/100)

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) से मूलधन निकालना: 10% वार्षिक पर 2 वर्ष में ₹3267:
P(1.1)² = 1.21P = 3267 → P = ₹2700।

चक्रवृद्धि ब्याज (CI):
A = P(1+R/100)^T
CI = A − P

अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि: A = P(1+R/200)^(2T)।

SI से दर ज्ञात करना: ₹12000 → ₹15972 (3 वर्ष, SI):
SI = 3972; R = (3972×100)/(12000×3) ≈ 11%।

SI और CI का अंतर: CI > SI (क्योंकि CI ब्याज पर भी ब्याज लगाता है)। 2 वर्षों के लिए अंतर = P(R/100)²। यह अक्सर परीक्षित सूत्र है।

पूर्णांक — संक्रियाएँ, गुण और भ्रांतियाँ

पूर्णांक संख्या रेखा को दोनों दिशाओं में विस्तारित करते हैं: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … कक्षा 6 में ऋणात्मक संख्याओं का परिचय स्कूली गणित की एक बड़ी वैचारिक छलाँग है।

संख्या रेखा पर जोड़-घटाव: धन जोड़ना = दाईं ओर; ऋण जोड़ना = बाईं ओर। धन घटाना = बाईं ओर; ऋण घटाना = दाईं ओर। 5−(−3) = 8।

गुणा-भाग के नियम:

• धन × धन = धन; धन × ऋण = ऋण; ऋण × ऋण = धन।

'ऋण × ऋण = धन' बच्चों के लिए counter-intuitive। प्रतिरूप विस्तार: (−2)(−1) = 2 का पैटर्न।

पूर्णांकों के गुण: +, −, × में संवृत्त; +, × में क्रमविनिमेय; −, ÷ में नहीं; योजात्मक तत्समक = 0; गुणात्मक तत्समक = 1।

सामान्य भ्रांतियाँ: −7 > −3 (गलत: संख्या रेखा पर −7 बायीं ओर है)। −5 में ऋण चिह्न घटाने की संक्रिया समझना (गलत: यह ऋणात्मक पूर्णांक है)।

दशमलव, वैज्ञानिक संकेतन और करणी

दशमलव संख्याएँ भिन्न और वास्तविक संख्या प्रणाली के बीच सेतु हैं। उच्च प्राथमिक स्तर पर: भिन्न और दशमलव के बीच रूपांतरण, जोड़-घटाव, 10 की घातों से गुणा-भाग, और मानक रूप।

दशमलव जोड़ना-घटाना: दशमलव बिंदु को ऊर्ध्वाधर रूप में मिलाएँ। सामान्य भूल: दाईं ओर से मिलाना।

दशमलव की तुलना: दशमलव बिंदु के बाद बाएँ से दाएँ। 0.9 > 0.189 क्योंकि दशमांश स्थान पर 9 > 1। बच्चे गलती से 0.189 > 0.9 मानते हैं ('अधिक अंक = बड़ी संख्या')।

मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन): a×10ⁿ जहाँ 1 ≤ a < 10। उदाहरण: 12.34×10¹⁰ − 5.67×10⁸ = 1228.33×10⁸ = 1.22833×10¹¹।

करणी और दशमलव सन्निकटन: √198×√550 = √108900 = 330। √99×√363 ≈ 189.57। अतः 1/330 < 1/189.57।

दशमलव में जोड़ने वाली राशि: यदि x = 1.011+10.11−12.101+0.1011 = −0.8789, तो निकटतम पूर्ण संख्या (0) तक पहुँचने के लिए 0.8789 जोड़ना होगा।

परिमेय संख्याएँ सिखाना — रणनीतियाँ और भ्रांतियाँ

परिमेय संख्या शिक्षण गणित शिक्षा में सर्वाधिक शोधित विषयों में से एक है। CTET पेपर 2 अभ्यर्थी को गणितीय सामग्री के साथ-साथ शोध-समर्थित शिक्षण रणनीतियाँ भी समझनी हैं।

परिमेय संख्या अधिगम की पाँच कठिनतम वैचारिक छलाँगें (NCERT 2012):

1. भाग-संपूर्ण से भागफल: 3/4 का अर्थ '3÷4' भी है — बच्चे यह संबंध नहीं बना पाते।
2. संचालक संकल्पना: 3/4 of 12 = 9 — भिन्न एक संख्या को scale करती है।
3. अनुपात संकल्पना: 3/4 अनुपात 3:4 — समानुपात समस्याओं के लिए आवश्यक।
4. माप संकल्पना: 3/4 संख्या रेखा पर 0 और 1 के बीच एक बिंदु।
5. तुल्यता: 3/4 = 6/8 = 9/12 — एक ही संख्या के अनेक रूप।

NCF 2005 द्वारा अनुमोदित कक्षा रणनीतियाँ:

• प्रतीकात्मक संकेतन से पहले भिन्न पट्टियाँ, पैटर्न ब्लॉक और क्षेत्रफल मॉडल।
• संख्या रेखा केंद्रीय निरूपण — पूर्णांक, भिन्न और दशमलव को एकीकृत करती है।
• अनुमान कार्य: '7/8 + 12/13 कितने के पास है — 1, 2 या 3?' (उत्तर: 2।)
• विभिन्न रणनीतियों को महत्व दें — केवल मानक एल्गोरिदम नहीं।

CTET परीक्षा फोकस

भिन्न, दशमलव और वाणिज्यिक गणित प्रश्न CTET पेपर 2 गणित में हर बार आते हैं।

प्रतिरूप 1 — CI से मूलधन। A = P(1+R/100)^T में A और R, T दिए हों तो P निकालें। ₹3267 = P×1.21 → P = ₹2700।

प्रतिरूप 2 — SI से दर। R = (SI×100)/(P×T)। ₹12000 → ₹15972 (3 वर्ष) → R ≈ 11%।

प्रतिरूप 3 — अंकित मूल्य और छूट से लाभ। CP → MP (% वृद्धि) → SP (% छूट) → लाभ प्रति वस्तु × संख्या = कुल लाभ।

प्रतिरूप 4 — भिन्नों की तुलना और योग। सभी को अनुचित भिन्न में बदलें, LCM हर बनाएँ, सबसे बड़ी और छोटी खोजें, योग/अंतर निकालें।

प्रतिरूप 5 — दशमलव जोड़-घटाव और पुनःस्थापना। बहु-पद दशमलव व्यंजन हल करें; लक्ष्य तक पहुँचने के लिए जोड़ने वाली राशि।

सामान्य जाल: (i) SI और CI सूत्रों की अदला-बदली। (ii) लाभ% SP पर। (iii) बड़े अंश वाली भिन्न को बड़ा मानना। (iv) प्रतिशत समस्या में गलत आधार।